Задача 61687 Вычистить пределы, не пользуясь правилом...
Условие
Решение
[m]lim_{x → 1}\frac{3^{5x-3}-3^{2x^2}}{ln(5x^2-4x)}=\frac{3^2-3^2}{ln(5-4)}=\frac{0}{0}[/m]
Неопределенность [m]\frac{0}{0}[/m]
Замена переменной:
[m]x-1=t[/m]
[m]x → 1[/m] ⇒ [m]t →0 [/m]
[m]x=t+1[/m]
Применяем свойства бесконечно малых функций
[m]3^{5x-3}=3^{5(t+1)-3}=3^{5t+2}=3^2\cdot 3^{5t}∼9\cdot (5t) \cdot ln3[/m] при [m]t →0 [/m] ( формула 8 в таблице)
[m]3^{2x^2}=3^{2(t+1)^2}=3^2\cdot 3^{2t^2+4t}∼9\cdot (2t^2+4t) \cdot ln 3[/m]( формула 8 в таблице)
[m]ln(5x^2-4x)=ln(5(t+1)^2-4(t+1))=ln(1+5t^2+6t) ∼ 5t^2+6t[/m]
[m]lim_{x → 1}\frac{3^{5x-3}-3^{2x^2}}{ln(5x^2-4x)}=lim_{t → 0}\frac{3^{5t+2}-3^{2(t+1)^2}}{ln(5(t+1)^2-4(t+1))}=lim_{t → 0}\frac{9\cdot (5t) \cdot ln3-9\cdot (2t^2+4t) \cdot ln 3}{5t^2+6t}=[/m]
[m]=lim_{t → 0}\frac{9\cdot ln3 t(1-2t)}{t(5t+6)}=\frac{9ln3}{6}=\frac{3ln3}{2}[/m]
2.
[m]lim_{x → 0}(5-\frac{4}{cosx})^{\frac{1}{sin^23x}}=1^{ ∞ }[/m]
Неопределенность [m]1^{ ∞ }[/m]
Применяем второй замечательный предел:
[m] 4 -\frac{4}{cosx} → 0[/m] при [m] x → 0[/m]
[m]lim_{x → 0}(1+ 4 -\frac{4}{cosx})^{\frac{1}{4-\frac{4}{cosx}}}=e[/m]
Тогда
[m]lim_{x → 0}(5-\frac{4}{cosx})^{\frac{1}{sin^23x}}=lim_{x → 0}(1+ 4 -\frac{4}{cosx})^ {\frac{1}{4-\frac{4}{cosx}}}) ^{(4-\frac{4}{cosx})\cdot \frac{1}{sin^23x}}=e^{lim_{x → 0}e^{(4-\frac{4}{cosx})\cdot \frac{1}{sin^23x}}}=e^{-\frac{4}{9}}[/m]
Так как при [m]x → 0[/m]
[m]cosx → 1[/m]
[m]4-\frac{4}{cosx}=\frac{4\cdot (cosx-1)}{cosx}=\frac{4\cdot (-2sin^2\frac{x}{2}}{cosx}[/m]
[m]sin^2\frac{x}{2} ∼ (\frac{x}{2})^2 при [m]x → 0[/m]
[m]sin^2 3x ∼ (3x)^2[/m] при [m]x → 0[/m]
