Задача 61671 ...

6197826fc30ab457e8749ac7

20.11.2021 19:39:14

Вычислить определенный интеграл с точностью α = 0,001 , представив подынтегральную функцию в виде степенного ряда.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

20.11.2021 19:48:30

★

[m]cosx=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+...[/m]

[m]cosx^4=1-\frac{(x^4)^2}{2!}+\frac{(x^4)^4}{4!}+...[/m]



[m] ∫_{0} ^{0,1}\frac{cosx^4-1}{x^{8}}dx=∫_{0} ^{0,1}\frac{1-\frac{(x^4)^2}{2!}+\frac{(x^4)^4}{4!}-1}{x^{8}}dx=[/m]

[m]=∫_{0} ^{0,1}(\frac{-\frac{x^8}{2!}+\frac{x^{16}}{4!}}{x^{8}})dx=∫_{0} ^{0,1}(-\frac{1}{8}+\frac{x^{8}}{24})dx=[/m]

[m]=(-\frac{1}{8}x+\frac{x^{9}}{9\cdot (24)})|_{0} ^{0,1}=-\frac{1}{8}\cdot 0,1+\frac{0,1^{9}}{9\cdot (24)}[/m]

Так как [m]\frac{0,1^{9}}{9\cdot (24)}=\frac{1}{216\cdot 10^9} < 0,001 [/m], то достаточно взять только первое слагаемое

[m] ∫_{0} ^{0,1}\frac{cosx^4-1}{x^{8}}dx ≈ -\frac{1}{8}\cdot 0,1=-\frac{1}{80}[/m]