Задача 61664 Решить однородное диф уравнение...
Условие
математика ВУЗ
279
Решение
★
[b]Замена :[/b]
y/x=u
y=x*u
y`=x`*u+x*u` ( x`=1, так как x - независимая переменная)
y`=u+x*u`
Подставляем в [red](#)[/red]
u+x*u`=(x+x*u)/(x-x*u)
u+x*u`=x*(1+u)/x*(1-u)
x*u`=(1+u)/(1-u) - u
x*u`=(1+u-u+u^2)/(1-u)
x*u`=(1+u^2)/(1-u) - уравнение с разделяющимися переменными:
u`=du/dx
x*(du/dx)=(1+u^2)/(1-u) ⇒(1-u) du/(1+u^2)=dx/x ⇒ ∫(1-u) du/(1+u^2)= ∫ dx/x ⇒
arctg u-(1/2)ln(1+u^2)=ln|x|+lnC
[b]arctg y/x-(1/2)ln(1+(y/x)^2)=ln|x|+lnC [/b]
