Задача 61652 Указать структуру общего решения...

6197826fc30ab457e8749ac7

19.11.2021 14:50:48

Указать структуру общего решения дифференциального уравнения, не
находя коэффициентов его частных решений.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

19.11.2021 16:24:52

★

Решаем однородное:
[m]y^{V}-8y```+16y`=0[/m]

Составляем характеристическое

k^5-8k^3+16k=0

k*(k^4-8k^2+16)=0

k*(k^2-4)^2=0


k*(k-2)*(k-2)*(k+2)(k+2)=0

k_(1)=0; k_(2)=2;k_(3)=-2;k_(4)=-2; k_(5)=-2

y_(общее одн)=С_(1)e^(0x)+C_(2)e^(-2x)+C_(3)*x*e^(-2x)+C_(4)*e^(2x)+C_(5)*x*e^(2x)


f(x)=e^(-2x)+10x+2+e^{2x)*cos5x+x*sin5x

f_(1)(x)=e^(-2x); f_(2)=10x+2; f_(3)=e^{2x)*cos5x; f_(4)=x*sin5x


f_(1)(x)=e^(-2x);

k_(3)=-2 - кратный корень характеристического уравнения, поэтому умножаем на х^2


y_(1)=Dx^2*e^(-2x)

k_(1)=0 - корень характеристического уравнения, поэтому умножаем на х

y_(2)=(Ax+B)*x


y_(3)=e^(2x)*(Mcos5x+Nsin5x)

y_(4)=(Kx+P)*sin5x+(Tx+Q)*cos5x


y_(частное неод)=Dx^2*e^(-2x) +(Ax+B)*x+e^(2x)*(Mcos5x+Nsin5x)+(Kx+P)*sin5x+(Tx+Q)*cos5x

y_(общее неодн)=y_(общее одн)+y_(частное неод)=...