Задача 61626 ...
Условие
Решение
[m]u=\frac{1}{x}[/m] ⇒ [m]x=\frac{1}{u}[/m]
[m]du=-\frac{1}{x^2}dx[/m]
[m]x^2+6x+7=(\frac{1}{u})^2+6\cdot \frac{1}{u}+7=\frac{7u^2+6u+1}{u^2}[/m]
[m]\sqrt{x^2+6x+7}=\frac{\sqrt{7u^2+6u+1}}{u}[/m]
получим
[m] ∫ \frac{dx}{x^2\cdot \sqrt{x^2+6x+7}}=-∫ \frac{u du }{ \sqrt{7u^2+6u+1}}[/m]
Выделяем полный квадрат:
[m]7u^2+6u+1=(\sqrt{7}u+\frac{3}{\sqrt{7}})^2-\frac{2}{7}[/m]
Замена переменной:
[m]\sqrt{7}u+\frac{3}{\sqrt{7}}=t[/m] ⇒ [m]\sqrt{7}u=t-\frac{3}{\sqrt{7}}[/m] ⇒ [m]u=\frac{\sqrt{7}t- 3}{7}[/m]
[m]du=\frac{dt}{\sqrt{7}}[/m]
получим
[m] ∫\frac{dx}{x^2 \cdot \sqrt{x^2+6x+7} }=-∫\frac{u du}{\sqrt{7u^2+6u+1} }=[/m]
[m]= -∫ \frac{\frac{\sqrt{7}t- 3}{7}\cdot \frac{dt}{\sqrt{7}}}{\sqrt{(\sqrt{7}u+\frac{3}{\sqrt{7}})^2-\frac{2}{7}}}=[/m]
далее табличные интегралы:
см. скрин
