Задача 61610 В урне 5 черных и 2 белых шара. Из урны...
Условие
В урне 5 черных и 2 белых шара. Из урны наугад извлекают 3 шара. Случайная величина & – число черных шаров в выборке. Составить ряд распределения случайной величины &, найти функцию распределения Е (х) и построить ее график, построить многоугольник распределения, найти мат ожидание и дисперсию.
Решение
Они могут быть все три черные, два черных и один белый или один черный и два белых
Значит случайная величина ξ – количество черных шаров в выборке
принимает значения 1; 2; 3
Находим соответствующие вероятности
применяем формулу:
С^(k)_(n)=n!/(k!·(n–k)!)
Решаем три задачи
1)В урне 5 черных и 2 белых шара. Из урны наугад извлекают 3 шара. Какова вероятность, что там один черный и два белых
p_(1)=C^(1)_(5)*C^(2)_(2)/C^(3)_(7)=5/35
2)В урне 5 черных и 2 белых шара. Из урны наугад извлекают 3 шара. Какова вероятность, что там два черных и один белый
p_(2)=C^(2)_(5)*C^(1)_(2)/C^(3)_(7)=20/35
3)В урне 5 черных и 2 белых шара. Из урны наугад извлекают 3 шара. Какова вероятность, что там три черных
p_(3)=C^(3)_(5)*C^(0)_(2)/C^(3)_(7)=10/35
Ряд распределения случайной величины ξ - это таблица, в первой строке значения :1,2,3
Под ними вероятности:
p_(1)=5/35; p_(2)=20/35; p_(3)=10/35
По определению функция распределения F (ξ)=P( ξ < x)
x<1
F(ξ)=0
1 < x≤ 2
F(ξ)=p_(1)=5/35
2 <x ≤3
F(ξ)=p_(1)+p_(2)=(5/35)+(20/35)=25/35
x>3
F(ξ)=p_(1)+p_(2)+p_(3)=(5/35)+(20/35)+(10/35)=1
[m]F(x)=\left\{\begin {matrix}0; если x ≤ 1\\\frac{5}{35};если 1 <x ≤2\\\frac{25}{35}; если 2<x ≤ 3\\1; если x>3\end {matrix}\right.[/m]
По определению:
M(X)=x_(1)*p_(1)+x_(2)*p_(2)+x_(3)*p_(3)+x_(4)*p_(4)
M(X)=[blue][m]1\cdot\frac{5}{35} +2\cdot \frac{20}{35} +3\cdot \frac{10}{35}=\frac{75}{35}[/m][/blue]
D(X)=M(X^2)-(M(X))^2
M(X)=x^2_(1)*p_(1)+x^2_(2)*p_(2)+x^2_(3)*p_(3)+x^2_(4)*p_(4)
M(X^2)=[red][m]1^2\cdot\frac{5}{35} +2^2\cdot \frac{20}{35} +3^2\cdot \frac{10}{35}=\frac{175}{35}=[/m][/red]
D(X)=[red][m]\frac{175}{35}[/m][/red]- ([blue][m]\frac{75}{35}[/m][/blue])^2=
считайте