Задача 61605 Интеграл(2-x)dx/((13x^2-4x+1)^2)...
Условие
Решение
[m]13x^2-4x+1=13(x^2-\frac{4}{13}x+\frac{1}{13})=13(x-\frac{2}{13})^2+\frac{1}{13}-\frac{4}{169})=13\cdot ((x-\frac{2}{13})^2+\frac{9}{169})[/m]
Замена переменной:
[m]x-\frac{2}{13}=t[/m] ⇒ [m]x=t+\frac{2}{13}[/m]
[m]dx=dt[/m]
[m] ∫ \frac{2-x}{(13x^2-4x+1)^2}dx=\frac{1}{169} ∫ \frac{2-(t+\frac{2}{13})}{(t^2+\frac{9}{169})^2}dt=\frac{\frac{24}{13}}{169} ∫\frac{dt}{(t^2+\frac{9}{169})^2}-\frac{1}{169} ∫\frac{tdt}{(t^2+\frac{9}{169})^2}[/m]
Первый интеграл считаем по рекуррентной формуле
[m] I_{2}=∫\frac{dt}{(t^2+\frac{9}{169})^2}=\frac{1}{\frac{9}{169}}\cdot \frac{2\cdot 2-3}{(2\cdot 2-2} ∫\frac{dt}{t^2+\frac{9}{169}} +\frac{1}{\frac{9}{169}}\cdot\frac{t}{2\cdot (2-1)\cdot (t^2+\frac{9}{169})} [/m]
[m]=\frac{169}{9}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\frac{3}{13}}arctg\frac{t}{\frac{3}{13}}+\frac{169}{9}\cdot\frac{t}{2\cdot (t^2+\frac{9}{169})} [/m]
Второй табличный, по формуле:
[m]∫\frac{tdt}{(t^2+\frac{9}{169})^2}=\frac{1}{2}∫\frac{2tdt}{(t^2+\frac{9}{169})^2}=\frac{1}{2}∫\frac{du}{u^2}=-\frac{1}{2u}+C=[/m]
[m]=-\frac{1}{2(t^2+\frac{9}{169})}+C[/m]