Задача 61599 Пределы, 5 и 6 ...
Условие
Решение
1) Подставляем х → 0
f(x) → ln(1+0)=0 - б.м.
2)
Подставляем х → 3
2^(x)-8 → 0 ⇒ 1/0 → ∞
б.б.
3)x → ∞ ⇒
x+2x^2 → ∞
1/(x+2x^2) → 0
sin(1/(x+2x^2)) → 0
x → +∞
arctg3x → π/2
x → -∞
arctg3x →-( π/2)
x → ∞
arctg3x * sin(1/(x+2x^2)) - б.м произведение б.м и ограниченной
6.
На (-∞ ;0) функция непрерывна, так как y=x^(3) непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )
На [0;4) функция непрерывна, так как y=x^2+1 непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )
На (4;+∞) функция непрерывна, так как y=lg(x-4) непрерывна на области определения
Значит, надо выяснить непрерывность функции в точках
х=0
Находим предел слева:
lim_(x →-0)f(x)=lim_(x → -0)(х^3)=0
Находим предел справа:
lim_(x → +0)f(x)=lim_(x → +0)(x^2+1)=0+1=1
предел слева ≠ пределу справа
Функция имеет скачок ([i]конечный[/i]) в точке x=0
х=0 - [i]точка разрыва первого рода[/i]
х=4
Находим предел слева:
lim_(x →4-0)f(x)=lim_(x →4 -0)(х^2+1)=16+1=17
Находим предел справа:
lim_(x →4 +0)f(x)=lim_(x →4 +0)lg(x-4)=- ∞
Правосторонний предел - бесконечный ⇒
x=4 -[i] точка разрыва второго рода[/i]
б)
функция непрерывна во всех точках, кроме х=-2
Находим предел слева:
|x+2|=-(x+2)
(x+2)/|x+2|=(x+2)/(-(x+2))=-1
f(x)=x-1
lim_(x →-2-0)f(x)=lim_(x →-2 -0)(x-1)=-3
Находим предел справа:
|x+2|=(x+2)
f(x)=x+1
(x+2)/|x+2|=(x+2)/(x+2)=1
f(x)=x+1
lim_(x →-2 +0)f(x)=lim_(x →-2 +0)(x+1)=-1
предел слева ≠ пределу справа
Функция имеет скачок ([i]конечный[/i]) в точке x=-2
х=-2 - [i]точка разрыва первого рода[/i]