Задача 61591 Случайная величина X задана функцией...
Условие
Решение
[m]f(x)=\left\{\begin{matrix}
0,если x < 0\\2cos2x, если 0≤x≤\frac{π}{4} \\0, если x > 2\end{matrix}\right.[/m]
По определению:
[m]M(X)=∫ ^{∞ }_{- ∞ }x\cdot f(x)dx[/m]
Так как функция задана на трех промежутках, то интеграл равен сумме интегралов по трем промежуткам (первый и последний равны 0, так как функция равна 0):
[m]M(X)= ∫ ^{\frac{π}{4}}_{0} x\cdot (2cos2x) dx=2∫ ^{\frac{π}{4}}_{0} x\cdot (cos2x) dx[/m]
интегрирование по частям
Обозначим:
[m]u=x[/m] ⇒[m] du=dx[/m]
[m]dv=cos2xdx [/m] ⇒ [m]v= ∫ cos2xdx=\frac{1}{2}∫ cos(2x) d(2x)=\frac{1}{2}sin2x[/m]
Тогда
[m]2∫ ^{\frac{π}{4}}_{0} x\cdot (cos2x) dx=2\cdot ((x\cdot \frac{1}{2}sin2x)|^{\frac{π}{4}}_{0} -∫ ^{\frac{π}{4}}_{0}\frac{1}{2}sin2xdx=2\cdot \frac{π}{4}\cdot \frac{1}{2}sin (2\cdot\frac{π}{4}) - 2\cdot \frac{1}{2} \cdot ∫ ^{\frac{π}{4}}_{0}sin2xdx= [/m]
[m]=\frac{π}{4}-\frac{1}{2}(-cos2x)|^{\frac{π}{4}}_{0}=\frac{π}{4}-\frac{1}{2}[/m]
По формуле:
[red]D(X)=M(X^2)-(M(X))^2[/red]
Считаем
[m]M(X^2)=∫ ^{∞ }_{- ∞ }x^2\cdot f(x)dx[/m]
Так как функция задана на трех промежутках, то интеграл равен сумме интегралов по трем промежуткам (первый и последний равны 0, так как функция равна 0):
[m]M(X)= ∫ ^{\frac{π}{4}}_{0}x^2\cdot (2cos2x)dx=?[/m]
Интегрируем по частям два раза....
( см скрин)
[m]=\frac{π^2}{16}-\frac{1}{2}[/m]
Тогда
[red][m]D(X)=M(X^2)-(M(X))^2= \frac{π^2}{16}-\frac{1}{2} -(\frac{π}{4}-\frac{1}{2})^2=\frac{π-3}{4} [/m][/red]
Все решения