Задача 61532 Найти указанные пределы...
Условие
Решение
Неопределенность ( ∞ / ∞ )
Делим числитель и знаменатель на x^3:
[m]=\lim_{ \to \infty }\frac{\frac{3x^3-5x^2+2}{x^3}}{\frac{2x^3+5x^2-x}{x^3}}=[/m]
Делим почленно, те каждое слагаемое числителя делим на [m]x^3[/m] и
каждое слагаемое знаменателя делим на [m]x^2[/m]:
[m]=\lim_{ \to \infty }\frac{\frac{3x^3}{x^3}-\frac{5x^2}{x^3}+\frac{2}{x^3}}{\frac{2x^3}{x^3}+\frac{5x^2}{x^3}-\frac{x}{x^3}}=[/m]
[m]=\lim_{ \to \infty }\frac{3-\frac{5}{x}+\frac{2}{x^3}}{2+\frac{5}{x}-\frac{1}{x^2}}=\frac{3-0+0}{2+0-0}=\frac{3}{2}=1.5[/m]
2)
[m]\lim_{x \to 3}\frac{x^2+x-12}{\sqrt{x-2}-\sqrt{4-x}}=\frac{3^2+3-12}{\sqrt{3-2}-\sqrt{4-3}}=\frac{0}{0}[/m]
Неопределенность
Числитель раскладываем на множители:
[m]x^2+x-12=(x-3)(x+4)[/m]
Умножаем и числитель и знаменатель на выражение
[m]\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}[/m]
Получаем:
[m]=\lim_{x \to 3}\frac{(x-3)(x+4)(\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x})}{(\sqrt{x-2}-\sqrt{4-x})(\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x})}[/m]
Применяем формулу разности квадратов a^2-b^2=(a-b)*(a+b)
[m]=\lim_{x \to 3}\frac{(x-3)(x+4)(\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x})}{(\sqrt{x-2})^2-(\sqrt{4-x})^2}=\lim_{x \to 3}\frac{(x-3)(x+4)(\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x})}{x-2-(4-x)}=[/m]
[m]=\lim_{x \to 3}\frac{(x-3)(x+4)(\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x})}{x-2-4+x}=\lim_{x \to 3}\frac{(x-3)(x+4)(\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x})}{2x-6}=\lim_{x \to 3}\frac{(x-3)(x+4)(\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x})}{2(x-3)}=[/m]
сокращаем на (х-3)
[m]=\lim_{x \to 3}\frac{(x+4)(\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x})}{2}=\frac{(3+4)(\sqrt{3-2}+\sqrt{4-3})}{2}=[/m]