Задача 61505 ...

6035fc7016e9eb62f3f77539

12.11.2021 07:10:35

∫ (10-2x^2)sin(4-2x)dx

5f3ea7e3faf909182968ddd9

12.11.2021 11:04:33

Интегрирование по частям.
Переобозначение:
[m]u=10-2x^2[/m] ⇒ [m]du=(10-2x^2)`dx=-4xdx[/m]
[blue][m]du=-4xdx[/m][/blue]
[m]dv=sin(4-2x)dx[/m] ⇒[m]v= ∫sin(4-2x)dx[/m]
Замена переменной:
[m]4-2x=t[/m] ⇒ [m]dt=(4-2x)`dx=-2dx[/m] ⇒[m] dx=-\frac{1}{2}dt[/m]

[m]v= ∫ sint\cdot (-\frac{1}{2})dt=-\frac{1}{2} ∫sintdt=-\frac{1}{2} (-cost) + C [/m]

Полагаем C=0

[red][m]v=\frac{1}{2} cos(4-2x) [/m][/red]

По формуле интегрирования по частям:

[m] ∫ (10-2x^2)\cdot sin(4-2x)dx=(10-2x^2)\cdot [/m] [red][m]\frac{1}{2} cos(4-2x)[/m][/red]- [red][m] ∫ \frac{1}{2} cos(4-2x)[/m][/red] [blue][m](-4xdx)[/m][/blue]=

[m]=\frac{1}{2} (10-2x^2)\cdot cos(4-2x)+2 ∫ x cos(4-2x)dx=[/m]


Еще раз по частям.

Переобозначение:
[m]u=x[/m] ⇒ [m]du=dx=[/m]

[m]dv=cos(4-2x)dx[/m] ⇒[m]v= ∫cos(4-2x)dx=-\frac{1}{2}sin(4-2x)[/m]


[green][m]v= -\frac{1}{2}sin(4-2x)[/m][/green]


[m]=\frac{1}{2} (10-2x^2)\cdot cos(4-2x)+2 ( x\cdot [/m] [green][m](-\frac{1}{2})sin(4-2x)[/m][/green]- ∫[green][m](-\frac{1}{2})sin(4-2x) [/m][/green][m]dx)=[/m]


[m]=\frac{1}{2} (10-2x^2)\cdot cos(4-2x)- x\cdot sin(4-2x)- ∫sin(4-2x) dx=[/m]

[m]=\frac{1}{2} (10-2x^2)\cdot cos(4-2x)- x\cdot sin(4-2x)+\frac{1}{2}cos(4-2x)+C[/m]


[m]=\frac{11-4x^2}{2}\cdot cos(4-2x)- x\cdot sin(4-2x)+C[/m] - О т в е т