Задача 61449 По математике за 10-11 класс...
Условие
Решение
[m]= ∫ x^4dx- ∫ 2^{x}dx+ ∫ 6dx=[/m]
постоянный множитель можно выносить за знак интеграла
[m]= ∫ x^4dx- ∫ 2^{x}dx+6 ∫ dx=[/m]
табличные интегралы см. скрин ( формулы 2; 4; и 1)
[m]=\frac{x^5}{5}-\frac{2^{x}}{ln2}+6x+C[/m]
2.
[m] ∫_{0} ^{6}3x^2dx=[/m]
постоянный множитель можно выносить за знак интеграла
[m]=3 ∫ x^2dx=[/m]
Применяем формулу Ньютона Лейбница
[r]∫ ^{b}_{a}f(x)dx=F(x)| ^{b}_{a}=F(b)-F(a)[/r]
[m]=3\frac{x^3}{3}|_{0} ^{6}=(x^3)|_{0} ^{6}=6^3-0^3=216[/m]
3.
Второй интеграл.
[m]u=sinx[/m]
тогда
[m]du=(sinx)`dx[/m] ⇒[m]du=cosx dx[/m]
и интеграл принимает вид:
[m] ∫ 5e^{sinx}cosx dx= ∫ 5e^{u} du=[/m]
5 за знак интеграла
[m]=5 ∫ e^{u}du=[/m]
табличный интеграл ( cм. скрин формула 3)
[m]=5e^{u}+ C=[/m]
обратный переход к переменной х:
[m]=5e^{sinx}+ C[/m]
4.
а)
Переобозначение:
[m]u=5+3x[/m] ⇒ [m]du=(5+3x)`dx[/m] ⇒[m]du=3dx[/m]
[m]e^{2x}dx=dv[/m] ⇒[m] v= ∫ e^{2x}dx=[/m] замена [m]t=2x[/m]; [m]dt=2dx[/m] ⇒ [m]dx=\frac{1}{2}dt[/m]
[m]v=\frac{1}{2}∫ e^{t}dt=\frac{1}{2}e^{t}+C[/m]
обратный переход к переменной х и полагаем C=0
[m]v=\frac{1}{2}e^{2x}[/m]
По формуле интегрирования по частям:
[r]∫ udv=u\cdot v- ∫ vdu[/r]
получаем:
[m] ∫ (5+3x)\cdot e^{2x}dx=(5+3x)\cdot \frac{1}{2}e^{2x}- ∫ \frac{1}{2}e^{2x}\cdot 3dx=[/m]
[m]=\frac{(5+3x)}{2}e^{2x}-\frac{3}{2}∫ e^{2x}dx =[/m] см вычисление ранее
[m]=\frac{(5+3x)}{2}e^{2x}-\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2} e^{2x}= [/m]
[m]=(\frac{(5+3x)}{2}-\frac{3}{4})\cdot e^{2x} + C [/m]
б)
[m] ∫ 9x\cdot cos4x dx=[/m]постоянный множитель можно выносить за знак интеграла
[m]=9 ∫x\cdot cos4x dx=[/m]
Переобозначение:
[m]u=x[/m] ⇒ [m]du=(x)`dx[/m] ⇒[m]du=dx[/m]
[m]cos4x dx=dv[/m] ⇒[m] v= ∫cos4x dx=[/m] замена [m]t=4x[/m]; [m]dt=4dx[/m] ⇒ [m]dx=\frac{1}{4}dt[/m]
[m]v=\frac{1}{4}∫ cost dt=\frac{1}{4} sint +C[/m]
обратный переход к переменной х и полагаем C=0
[m]v=\frac{1}{4}sin4x[/m]
По формуле интегрирования по частям:
[r]∫ udv=u\cdot v- ∫ vdu[/r]
получаем:
[m]=9 ∫x\cdot cos4x dx=9\cdot (x\cdot \frac{1}{4}sin4x- ∫\frac{1}{4}sin4x dx)= [/m]
[m]=\frac{9}{4}x\cdot sinx - \frac{9}{4}\cdot \frac{1}{4}\cdot (-cos4x) + C=\frac{9}{4}x\cdot sinx + \frac{9}{16}\cdot (cos4x) + C[/m]