Задача 61441 Исследовать на сходимость ряд...
Условие
Решение
[m]1-cos\frac{1}{n+1}=2sin^2\frac{1}{2(n+1)}[/m]
Ряд знакоположительный,
[m]a_{n}=\sqrt{n}\cdot (1-cos\frac{1}{n+1})= \sqrt{n}\cdot 2sin^2\frac{1}{2(n+1)}>0[/m]
[m]a_{n}=\sqrt{n}\cdot (1-cos\frac{1}{n+1})= \sqrt{n}\cdot 2sin^2\frac{1}{2(n+1)}= \sqrt{n}\cdot \frac{1}{2(n+1)}\cdot \frac{1}{2(n+1)}\cdot 2(n+1)\cdot 2sin^2\frac{1}{2(n+1)}\cdot \frac{1}{\frac{1}{2(n+1)}}\cdot \frac{1}{\frac{1}{2(n+1)}}=[/m]
[m]a_{n}=\frac{2\sqrt{n}}{4(n+1)^2}\cdot \frac{sin\frac{1}{2(n+1)}}{\frac{1}{2(n+1)}}\cdot \frac{sin\frac{1}{2(n+1)}}{\frac{1}{2(n+1)}} ∼
\frac{2\sqrt{n}}{4(n+1)^2}=b_{n}[/m]
Согласно первому замечательному пределу
[m]\frac{sin\frac{1}{2(n+1)}}{\frac{1}{2(n+1)}} → 1[/m] при n → ∞
Ряд ∑ b_{n} сходится, см обобщенный гармонический ряд ∑ 1/|n^(p), p > 1
Данный ряд сходится по признаку сравнения в предельной форме