Задача 61438 ...

618aa330f937ba74ca9bc44c

09.11.2021 19:36:31

Производятся независимые испытания трёх приборов. Вероятности отказа каждого прибора равны соответственно р1,р2,р3. Случайная величина ç - кол-во отказавших приборов. Найти ее математическое ожидание и дисперсию.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

10.11.2021 00:51:54

★

р_(1)-вероятность отказа первого прибора ⇒ q_(1)=1-p_(1) - вероятность исправной работы первого прибора
р_(2)-вероятность отказа второго прибора ⇒ q_(1)=1-p_(1) - вероятность исправной работы второго прибора
р_(3)-вероятность отказа третьего прибора ⇒ q_(1)=1-p_(1) - вероятность исправной работы третьего прибора

Случайная величина ξ – кол–во отказавших приборов может принимать следующие значения:
ξ_(0) =0; ξ_(1) =1; ξ_(2) =2; ξ_(3) =3

Считаем соответствующие вероятности:

ξ_(0) =0
Значит, отказало 0 приборов из трех

p_( ξ_(0))= q_(1)*q_(2)*q_(3)=(1-p_(1))*(1-p_(2))*(1-p_(3))

ξ_(0) =1
Значит, отказал 1 прибор из трех

p_( ξ_(1))= p_(1)*q_(2)*q_(3)+q_(1)*p_(2)*q_(3)+q_(1)*q_(2)*p_(3)=p_(1)*(1-p_(2))*(1-p_(3))+(1-p_(1))*p_(2)*(1-p_(3))+(1-p_(1))*(1-p_(2))*p_(3)


ξ_(0) =2
Значит, отказали 2 прибора из трех

p_( ξ_(2))= p_(1)*p_(2)*q_(3)+q_(1)*p_(2)*p_(3)+p_(1)*q_(2)*p_(3)=p_(1)*p_(2)*(1-p_(3))+(1-p_(1))*p_(2)*p_(3)+p_(1)*(1-p_(2))*p_(3)


ξ_(3) =3
Значит, отказали 3 прибора из трех

p_( ξ_(3))= p_(1)*p_(2)*p_(3)



По определению

M( ξ )= ξ _(0)*p_( ξ_(0))+ξ _(1)*p_( ξ_(1))+ξ _(2)*p_( ξ_(2))+ξ _(3)*p_( ξ_(3))=

0*p_( ξ_(0))+1*p_( ξ_(1))+2*p_( ξ_(2))+3*p_( ξ_(3))

Подставляем найденные вероятности

Для вычисления дисперсии применяем формулу
D( ξ )=M( ξ ^2)-(M( ξ ))^2

M( ξ ^2)=(ξ _(0))^2*p_( ξ_(0))+(ξ _(1))^2*p_( ξ_(1))+(ξ _(2))^2*p_( ξ_(2))+(ξ _(3))^2*p_( ξ_(3))=

= 0^2*p_( ξ_(0))+1^2*p_( ξ_(1))+2^2*p_( ξ_(2))+3^2*p_( ξ_(3))

Подставляем найденные вероятности