Задача 61419 Задана плотность распределения...
Условие
Найти функцию распределения F(x).
Решение
По определению:
[m]F(x)= ∫ ^{x}_{- ∞ }f(x)dx[/m]
При [m]x ≤1[/m]
[m]F(x)= ∫ ^{x}_{- ∞ }0dx=0[/m]
При [m] 0 < x ≤ \frac{π}{2}[/m]
[m]F(x)= ∫ ^{x}_{- ∞ }f(x)dx=∫ ^{0}_{- ∞ }0dx+∫ ^{x}_{0}sinxdx=0+(-cosx)|^{x}_{0}=1-cosx[/m]
При [m] x > \frac{π}{2}[/m]
[m]F(x)= ∫ ^{x}_{- ∞ }f(x)dx=∫ ^{0}_{- ∞ }0dx+∫ ^{ \frac{π}{2}}_{0}sinxdx+∫ ^{x}_{\frac{π}{2}}0dx=0+(-cosx)|^{\frac{π}{2}}_{0}+0=-cos\frac{π}{2}+cos0=1[/m]
Получаем:
[m]F(x)\left\{\begin {matrix}0, x ≤0\\1-cosx, 0 < x ≤ \frac{π}{2}\\1, x > \frac{π}{2} \end {matrix}\right.[/m]
7.
По определению:
[m]F(x)= ∫ ^{x}_{- ∞ }f(x)dx[/m]
При [m]x ≤1[/m]
[m]F(x)= ∫ ^{x}_{- ∞ }0dx=0[/m]
При [m] 1 < x ≤ 2[/m]
[m]F(x)= ∫ ^{x}_{- ∞ }f(x)dx=∫ ^{0}_{- ∞ }0dx+∫ ^{x}_{0}(x-\frac{1}{2})dx=0+(\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2}x)|^{x}_{0}=\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2}x[/m]
При [m] x >2[/m]
[m]F(x)= ∫ ^{x}_{- ∞ }f(x)dx=∫ ^{0}_{- ∞ }0dx+∫ ^{ 2}_{0}(x-\frac{1}{2})dx+∫ ^{x}_{2}0dx=0+(\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2}x)|^{2}_{0}+0=(\frac{1^2}{2}-\frac{1}{2}\cdot 1)=1[/m]
Получаем:
[m]F(x)\left\{\begin {matrix}0, x ≤1\\(\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2}x), 0 < x ≤ 2\\1, x > 2 \end {matrix}\right.[/m]