Задача 61376 Длины сторон треугольника представляют...

61866f635cb14e68af63ff67

06.11.2021 15:11:15

Длины сторон треугольника представляют собой три последовательных члены возрастающей геометрической прогрессии. Сравнить знаменатель этой прогрессии с числом 2.

5f3eaa23faf909182968dde0

06.11.2021 19:17:02

★

Пусть а - первая сторона, q - знаменатель геометрической прогрессии. Так как прогрессия является возрастающей, то q>1.
Тогда стороны треугольника равны а, aq, aq^(2).
Из неравенства треугольника получаем:
aq^(2)<a+aq,
делим обе части неравенства на а>0:
q^(2)<a+q,
q^(2)-q-1<0,
разложим левую часть неравенства на множители:
q^(2)-q-1=0,
D=1+4=5=(sqrt(5))^(2),
q=(1 ± sqrt(5))/2,
q_(1)=(1-sqrt(5))/2, q_(2)=(1+sqrt(5))/2,
значит, q^(2)-q-1=(q-(1-sqrt(5))/2)(q-(1+sqrt(5))/2),
Переходим к неравенству:
(q-(1-sqrt(5))/2)(q-(1+sqrt(5))/2)<0,
(1-sqrt(5))/2<q<(1+sqrt(5))/2,
так как (1-sqrt(5))/2<1, a q>1, то получаем, что:
1<q<(1+sqrt(5))/2.
Оценим число (1-sqrt(5))/2:
2<sqrt(5)<3,
3<1+sqrt(5)<4,
1,5<(1+sqrt(5))/2<2.
Так как (1+sqrt(5))/2<2, a q<(1+sqrt(5))/2, то q<2.
Ответ: q<2.