Задача 61357 Решить систему уравнений...
Условие
Решение
[m]\left\{\begin {matrix}x+\frac{1}{y} ≥0 \\y+\frac{1}{x} ≥ 0\\x ≠0\\y ≠ 0 \end {matrix}\right.[/m]
Возводим первое уравнение в квадрат
[m]x+\frac{1}{y}+2\sqrt{(x+\frac{1}{y})}\sqrt{(y+\frac{1}{x})}+y+\frac{1}{x}=8[/m]
[m]x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+2\sqrt{xy+2+\frac{1}{xy}}=8[/m]
[m]x+y+\frac{y+x}{xy}+2\sqrt{(xy+\frac{1}{xy})^2}=8[/m]
[m]x+y+\frac{y+x}{xy}+2|xy+\frac{1}{xy}|=8[/m]
Раскроем скобки в втором уравнении и перегруппируем:
[m]xy(x+y)+(x+y)=4xy[/m]
[b]⇒ [/b]
[red]Замена переменной:[/red]
[m]x+y=u[/m]
[m]xy=v[/m]
[m]\left\{\begin {matrix}u+\frac{u}{v}+2|v+\frac{1}{v}|=8\\ vu+u=4v\end {matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin {matrix}\frac{4v}{v+1}+\frac{\frac{4v}{v+1}}{v}+2|v+\frac{1}{v}|=8\\u=\frac{4v}{v+1}\end {matrix}\right.[/m]
Решаем первое уравнение.
Рассматриваем два случая:
1)
[m]v+\frac{1}{v}>0[/m]
[m]|v+\frac{1}{v}|=v+\frac{1}{v}[/m] ⇒
[m]\frac{4v}{v+1}+\frac{4}{v+1}+2(v+\frac{1}{v})=8[/m]
Приводим к общему знаменателю:
2)
[m]v+\frac{1}{v}<0[/m]
[m]|v+\frac{1}{v}|=-(v+\frac{1}{v})[/m] ⇒
[m]\frac{4v}{v+1}+\frac{4}{v+1}-2(v+\frac{1}{v})=8[/m]
Приводим к общему знаменателю: