Задача 61296 182. В урне а белых и b черных шаров (а...
Условие
Решение
[m]\frac{a}{a+b}[/m] - вероятность вынуть белый шар
После этого осталось (a+b-1) шаров, из них (a-1) белых
[m]\frac{a-1}{a+b-1}[/m] - вероятность вынуть второй белый шар
По теореме умножения
[m]\frac{a}{a+b}\cdot\frac{a-1}{a+b-1} [/m]- вероятность того, что оба шара белые
[m]\frac{и}{a+b}[/m] - вероятность вынуть чёрный шар
После этого осталось (a+b-1) шаров, из них (b-1) чёрных
[m]\frac{b-1}{a+b-1}[/m] - вероятность вынуть второй чёрный шар
По теореме умножения
[m]\frac{b}{a+b}\cdot\frac{b-1}{a+b-1} [/m]- вероятность того, что оба шара чёрные
По теореме сложения
[m]p(A)=\frac{a}{a+b}\cdot\frac{a-1}{a+b-1} +\frac{b}{a+b}\cdot\frac{b-1}{a+b-1}=\frac{a(a-1)+b(b-1)}{(a+b)(a+b-1)} [/m]-вероятность того, что оба шара одного цвета
Аналогично
[m]p(B)\frac{a}{a+b}\cdot\frac{b}{a+b-1} +\frac{b}{a+b}\cdot\frac{a}{a+b-1}=\frac{ab+ba}{(a+b)(a+b-1)} [/m]-вероятность того, что оба шара разного цвета
Очевидно, [m] p(A)+p(B)=1[/m]
Сравниваем:
[m]p(A)=\frac{a(a-1)+b(b-1)}{(a+b)(a+b-1)} [/m] и [m]p(B)=\frac{ab+ba}{(a+b)(a+b-1)} [/m]
Знаменатели одинаковые.
Осталось сравнить числители:
[m]a(a-1)+b(b-1)[/m] и [m]2ab[/m]
Рассмотрим разность:
[m]a^2-a+b^2-b-2ab=(a^2-2ab+b^2)-(a+b)=(a-b)^2-(a+b) =...[/m]
Не вижу как это доказать.
Обычно даны конкретные а и b