Задача 61295 Найти все значения параметра а, при...

6181578b3d5d7c0560db0bd9

02.11.2021 18:24:51

Найти все значения параметра а, при которых уравнение 4* +а:2“" +а +а-2=0 имеет ровно два корня разных знаков.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

02.11.2021 18:51:15

Показательное уравнение, сводящееся к квадратному.

Замена

2^(x)=t

2^(x+1)=2^(x)*2^(1)=2t

4^(x)=t^2

t^2+2a*t+a^2+a-2=0

D=(2a)^2-4*(a^2+a-2)=4a^2-4a^2-4a+8=8-4a=4(2-a)

Чтобы квадратное уравнение имело [b]2 корня[/b], дискриминат должен быть неотрицательным

4*(2-a) >0 ⇒ 2-a>0 ⇒ [b]a< 2[/b]


t_(1)=(-2-sqrt(8-4a))/2=-1-sqrt(2-a) или t_(2)=(-2+sqrt(8-4a))/2=-1+sqrt(2-a)

t_(1) < 0 при всех а <2

t_(2) > 0 , если

-1+sqrt(2-a) >0⇒ sqrt(2-a) > 1

Возводим в квадрат: 2-a>1⇒ a <1

⇒

При 1 < a < 2 - оба корня уравнения t^2+2a*t+a^2+a-2=0 отрицательные

При a < 1 уравнение t^2+2a*t+a^2+a-2=0 имеет один положительный корень, второй отрицательный



Обратный переход:

2^(x)=-1-sqrt(2-a) или 2^(x)=-1+sqrt(2-a)


первое уравнение не имеет корней, так как 2^(x) >0 при любых х,


Второе уравнение :
2^(x)=-1+sqrt(2-a)

При a < 1 уравнение имеет корень

Данное уравнение имеет один корень при a < 1