Задача 61280 ...

6180b4c83d5d7c0560db06f3

02.11.2021 06:49:19

Найдите пределы функции, не пользуясь правилом Лопиталя:
1). lim x->1 x-√x/x²-x
2). lim x->0 √1-cos2x/|x|
3). lim x->бесконечность (4x+1) ²x/(4x) ²x

5f3ea7e3faf909182968ddd9

02.11.2021 11:48:43

★

1) lim_(x–>1) (x–√x)/(x²–x)= (1-1)/(1-1)=0/0

Непосредственная подстановка приводит к неопределенности .

Устраняем.

Раскладываем на множители и числитель и знаменатель:

x–√x=√x(√x-1)

x²–x=x*(x-1)=x*(√x-1)(√x+1)

получаем:
lim_(x–>1) (x–√x)/(x²–x)=lim_(x–>1) √x(√x-1)/x*(√x-1)(√x+1)=

сокращаем

=lim_(x–>1) 1/(√x)*(√x+1)=1/(√1)*(√1+1)=1/2


2)
1–cos2x=2sin^2x

√(1–cos2x)=√2*|sinx|

lim_( x–>0) √(1–cos2x)/|x|=lim_( x–>0)√2*|sinx|/|x|=lim_( x–>0)√2*|sinx/x|=√2*lim_( x–>0)|sinx/x|= √2*1=√2

Cм. первый замечательный предел:

lim_( x–>0)sinx/x =1

3)lim_(x–>∞) (4x+1) ²x/(4x) ²x=lim_( x–>∞)(16x ²+8x+1)/(16x ²) =делим и числитель и знаменатель на х^2:

=lim_( x–>∞)(16x ²+8x+1)/16x ²/(16x ²/16x ²)=lim_( x–>∞)((16x ²/16x ²)+(8x/16x ²)+(1/16x ²))/(16x ²/16x ²)=

=lim_( x–>∞)((1)+(/2x )+(1/16x ²)/(1)=(1+0+0)/1=1