Задача 61273 Рябушко 2 часть Идз 11.1 вариант...
Условие
y-xy’ = x*sec(y/x)
Решение
[m]y`=f(\frac{y}{x})[/m]
[m]y`=\frac{y}{x}-sec\frac{y}{x}[/m]
Замена
[m]\frac{y}{x}=u[/m] ⇒[m]y=xu[/m]
[m]y`=x`u+xu`[/m] так как х- независимая переменная, то [m]x`=1[/m] ⇒ [m]y`=u+xu`[/m]
Подставляем в уравнение: [m]y`=\frac{y}{x}-sec\frac{y}{x}[/m]
вместо [m]y=xu[/m] и вместо [m]y`=u+xu`[/m]
Получаем:
[m]u+xu`=u-sec u[/m] ⇒ [m]xu`=-sec u[/m]
[m]sec u=\frac{1}{cosx}[/m]
[m]xu`=-\frac{1}{cosu}[/m]
так как [m]u`=\frac{du}{dx} ⇒
[m]xdu=-\frac{1}{cosu}dx[/m]- уравнение с разделяющимися переменными
[m]cosu du=-\frac{1}{x}dx[/m]
Интегрируем
[m] ∫ cosu du=- ∫ \frac{1}{x}dx[/m]
[m]sinu=-ln|x|+lnC[/m]
⇒
[m]sinu=ln\frac{C}{|x|}[/m] ⇒ [m]sin\frac{y}{x}=ln\frac{C}{|x|}[/m]