Задача 61260 Найти частное решение системы ОДУ { x'...
Условие
{ x' = 4x + 6y, x(0) = 1
{ y' = 4x + 2y, y(0) = 0
Решение
находим y из первого уравнения и подставляем во второе
[m]\left\{\begin {matrix}y=\frac{x`-4x}{6}\\(\frac{x`-4x}{6})`=4x+2\cdot \frac{x`-4x}{6}\end {matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin {matrix}y=\frac{x`-4x}{6}\\\frac{x``-4x`}{6}=4x+ \frac{x`-4x}{3}\end {matrix}\right.[/m]
Решаем второе уравнение:
[m]\frac{x``-4x`}{6}=4x+ \frac{x`-4x}{3}[/m]
[m]x``-6x`-16x=0[/m] -линейное [i]однородное[/i] дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
Составляем характеристическое уравнение:
[m]k^2-6k-16=0[/m]
D=(-6)^2-4*(16)=36+64=100
k_(1)=-2; k_(2)=8
х=С_(1)e^(-2x)+C_(2)e^(8x)
x`=-2С_(1)e^(-2x)+8C_(2)e^(8x)
и подставляем в первое уравнение системы
[m]y=\frac{x`-4x}{6}[/m]
[m]y=\frac{-2С_{1}e^{-2x}+8C_{2}e^{8x}-4С_{1}e^{-2x}-4C_{2}e^{8x}}{6}[/m]
[m]y=\frac{-6С_{1}e^{-2x}+4C_{2}e^{8x}}{6}[/m]
О т в е т. Общее решение системы:
[m]х=С_{1}e^{-2x}+C_{2}e^{8x}[/m]
[m]y=\frac{-6С_{1}e^{-2x}+4C_{2}e^{8x}}{6}[/m]
Из условия
х(0)=1
y(0)=0
[m]\left\{\begin {matrix}1=С_{1}+C_{2}\\0=\frac{-6С_{1}+4C_{2}}{6}\end {matrix}\right.[/m]
находим [m]С_{1}[/m] и [m]С_{2}[/m]
[m]С_{1}=\frac{2}{5}[/m] и [m]С_{2}=\frac{3}{5}[/m]
и получаем частное решение:
[m]х=\frac{2}{5}e^{-2x}+\frac{3}{5}e^{8x}[/m]
[m]y=\frac{-\frac{12}{5}e^{-2x}+\frac{12}{5}e^{8x}}{6}[/m] ⇒ [m]y=-\frac{2}{5}e^{-2x}+\frac{2}{5}e^{8x}[/m]