Задача 61257 Решить следующие линейные неоднородные...

61703bbe8c4c5a5ade8bf113

31.10.2021 17:54:12

Решить следующие линейные неоднородные уравнения с правой частью специального вида методом подбора частного решения по виду правой части.

y''+4y'+4y = 8e^(-2e)

5f3ea7e3faf909182968ddd9

31.10.2021 18:35:56

★

Линейное [b]неоднородное [/b]дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Общее решение неоднородного уравнения у_(общее неод)=y_(общее одн.)+y_(част неод)


Решаем однородное :

y'' +4y'+4 =0

Составляем характеристическое уравнение:

k^2+4k+4=0

k_(1)= k_(2)=-2- корни действительные РАВНЫЕ

Общее решение однородного уравнения в случае k= k_(1)= k_(2)имеет вид:

y_(общее одн.)=С_(1)*e^(kx)+C_(2)*хe^(kx)


Подставляем k=-2:

y_(общее одн.)=С_(1)*e^(-2x)+C_(2)*x*e^(-2*x)


Правая часть уравнения имеет специальный вид: f(x)=e^( α x).
α =-2

k_(1) =k_(2) = α ,

поэтому частное решение неоднородного уравнение находим в виде:

y_(част неод)=A*[b]x^2[/b]*e^(-2*x)

Находим производную первого, второго порядка

y`_(част неод)=(A*x^2*e^(-2*x))`=A*(x^2)`e^(-2*x)+A*x^2*(e^(-2*x))`=2A*x*e^(-2*x)+A*x^2*e^(-2*x)*(-2x)`=

=[red]A*(2*x-2x^2)[/red]*e^(-2x)


y``_(част неод)=(A*(2*x-2x^2)*e^(-2x))`=A*(2*x-2x^2)`*e^(-2*x)+A*(2*x-2x^2)*(e^(-2x))`=

=A*(2-4*x)*e^(-2*x)+A*(2*x-2x^2)*(e^(-2x))*(-2x)`=A*(2-4*x-4*x+4x^2)*(e^(-2x))=[blue]A*(2-8*x+4x^2)[/blue]*(e^(-2x))


Подставляем в данное уравнение:

[blue]A*(2-8*x+4x^2)[/blue]*e^(-2x)+4*[red]A*(2*x-2x^2)[/red]*(e^(-2x))+4*A*[b]x^2[/b]*e^(-2*x)=8*e^(-2*x)

Сокращаем на (e^(-2*x)):

A*([blue]2-8*x+4x^2[/blue])+4*A*([red]2*x-2x^2[/red])+4*A*[b]x^2[/b]=8

2A=8

и находим коэффициент:

А=4

О т в е т.
Общее решение :
у_(общее неод)=y_(общ одн.)+y_(част неод)=С_(1)*e^(-2x)+C_(2)*x*e^(-2x)+4*[b]x^2[/b]*e^(-2*х)