Задача 61255 Провести полное исследование функции и...
Условие
Решение
D(y)=(–∞;+ ∞)
так как знаменатель отличен от нуля:
x^2-2x+13 ≠ 0
D=(-2)^2-4*13 <0
Значит, [i]вертикальных асимптот [/i] нет
2)
Функция не является ни четной, ни нечетной
[m]f(–х)=\frac{9+6(-x)-3(-x)^2}{(-x)^2-2(-x)+13}=\frac{9-6x-3x^2}{x^2+2x+13}[/m]
f(–x) ≠ f(x)
f(–x) ≠- f(x)
3)
[m]lim_{x→ +∞}f(x)=lim_{x→ +∞}\frac{9+6x-3x^2}{x^2-2x+13}=-3[/m]
[m]lim_{x→–∞}f(x)=lim_{x→ -∞}\frac{9+6x-3x^2}{x^2-2x+13}=-3[/m]
y=-3 -[i] горизонтальная асимптота[/i]
Наклонной асимптоты нет, так как
[m]k=lim_{x→∞}\frac{f(x)}{x}=\frac{9+6x-3x^2}{x(x^2-2x+13)}=0[/m]
4) Точки пересечения с осями координат
С осью ОХ: f(x)=0
[m]\frac{9+6x-3x^2}{x^2-2x+13}=0[/m]
[m]9+6x-3x^2=0[/m]
Делим на (-3):
[m]x^2-2x-3=0[/m]
D=4+12=16
x=(2-4)/2=-1; x=(2+4)/2=3
(-1;0) и (3;0)-точки пересечения с осью Ох.
C осью Оу
х=0 ⇒ [m]y=\frac{9+6\cdot 0-3\cdot 0^2}{0^2-2\cdot 0+13}=\frac{9}{13}[/m]
(0;[m]\frac{9}{13}[/m])-точка пересечения с осью Оу.
5)
Исследование функции с помощью первой производной:
[m]f`(x)=\frac{(9+6x-3x^2)`\cdot (x^2-2x+13)-(9+6x-3x^2)\cdot (x^2-2x+13)`}{(x^2-2x+13)^2}[/m]
[m]f`(x)=\frac{(6-6x)(x^2-2x+13)-(9+6x-3x^2)(2x-2)}{(x^2-2x+13)^2}[/m]
[m]f`(x)=\frac{(2x-2)\cdot (-3x^2+6x-39-9-6x+3x^2)}{(x^2-2x+13)^2}[/m]
[m]f`(x)=\frac{(2x-2)\cdot (-48)}{(x^2-2x+13)^2}[/m]
f`(x)=0
2x-2=0
x=1
Знак производной
__ + __ (1) _____-__
y`>0 при x∈(-∞;1)
Функция [i]возрастает[/i] при x∈(-∞;1)
y`< 0 при х∈ (1;+∞)
Функция [i]убывает[/i] при x∈(1;+∞)
x=1– точка максимума, производная меняет знак с + на -
[m]f(1)=\frac{9+6-3}{1-2+13}=1[/m] -[i] наибольшее[/i] значение функции
6)
Исследование функции с помощью второй производной:
[m]f``(x)=-48\cdot \frac{(2x-2)`\cdot(x^2-2x+13)^2-(2x-2)\cdot ((x^2-2x+13)^2)` }{(x^2-2x+13)^4}[/m]
[m]f``(x)=-48\cdot \frac{2\cdot(x^2-2x+13)^2-(2x-2)\cdot 2(x^2-2x+13)\cdot(x^2-2x+13)` }{(x^2-2x+13)^4}[/m]
[m]f``(x)=-48\cdot \frac{2\cdot(x^2-2x+13)-(2x-2)\cdot 2\cdot(2x-2) }{(x^2-2x+13)^3}[/m]
[m]f``(x)=-48\cdot \frac{2x^2-4x+26-8x^2+16x-8}{(x^2-2x+13)^3}[/m]
[m]f`(x)`=288\cdot \frac{x^2-2x-3}{(x^2-2x+13)^3}[/m]
[m]f``(x)=0[/m] ⇒ [m]x^2-2x-3=0[/m]
x=-1; x=3 –точки перегиба,
вторая производная при переходе через точки меняет знак .
Функция выпукла вниз на (– ∞ ; - 1 ) и на (3 ;+ ∞ )
выпукла вверх на ( - 1;3 ) 
