Задача 61224 Определить тип уравнения и указать в...
Условие
Решение
[m]sinx^3=e^{\frac{y`-x^2}{y}}[/m]
[m]sinx^3=e^{(y`-x^2)}\cdot e^{-y}[/m]
[m]sinx^3\cdot e^{y}=e^{(y`-x^2)}[/m]
Логарифмируем:
[m]ln (sinx^3\cdot e^{y})=lne^{(y`-x^2)}[/m]
Применяем свойства логарифма:
[m]ln (sinx^3)+lne^{y}=(y`-x^2)\cdot lne[/m]
[m]ln (sinx^3)+y=y`-x^2[/m]
[m]y`-y=x^2+ln(sinx^3)[/m] - это линейное уравнение первого порядка вида
[m]y`+p(x)y=f(x)[/m]
Решают двумя способами
[b]1.[/b]метод Бернулли
Решение находят в виде произведения двух функций
y=u*v
y`=u`*v+u*v`
Подставляют в уравнение
[m]u`v+uv`-uv=x^2+ln(sinx^3)[/m]
Группируем
[m]u`v+(uv`-uv)=x^2+ln(sinx^3)[/m]
[m]u`v+u(v`-v)=x^2+ln(sinx^3)[/m]
Так как функции u и v - произвольные, выбирают их с условием, чтобы выражение в скобках обнулялось, т.е
v`-v=0
тогда
[m]u`v+u\cdot 0=x^2+ln(sinx^3)[/m]
и решают поочереди два уравнения с разделяющимися переменными
1)v`-v=0
2)[m]u`v+u\cdot 0=x^2+ln(sinx^3)[/m]
[b]2. [/b] Метод вариации произвольной постоянной
Решают однородное
[m]y`-y=0[/m]
Это уравнение с разделяющимися переменными
Его решение y=y(x;C)
Полагая С=С(x)
находим производную
y`=(y(x;С(х)))`
и подставляем в уравнение
и находим С(х)