Задача 61211 ...

61703bbe8c4c5a5ade8bf113

27.10.2021 22:25:20

Проинтегрировать уравнения в полных дифференциалах: x(2x²+y²+y(x²+2y²))·y'=0

5f3ea7e3faf909182968ddd9

28.10.2021 13:38:13

★

x*(2x^2+y^2)dx+y*(x^2+2y^2)dy=0

y`=dy/dx

(2x^3+xy^2)dx+(x^2y+2y^3)dy=0

P(x;y)=2x^3+xy^2
Q(x;y)=x^2y+2y^3

Находим

∂ P/ ∂ y=(2x^3+xy^2)`_(y)=2xy
∂ Q/ ∂ x=(x^2y+2y^3)`_(x)=2xy

Так как
∂ P/ ∂ y = ∂ Q/ ∂ x,

то это [b]уравнение в полных дифференциалах.[/b]

Значит, u(x;y)=C - решение дифференциального уравнения.

Функция u может быть найдена из условий:

∂ u/ ∂ x=P(x;y)

∂ u/ ∂ y=Q(x;y)

∂ u/ ∂ x=P(x;y) ⇒

[b]u(x;y)[/b]= ∫ P(x;y) dx= ∫ (2x^3+xy^2))dx=(2x^4/4)+ y^2*(x^2/2)+[b]φ (y)[/b]=

=(x^4/2)+(x^2y^2)/2+ [b]φ (y)[/b]

[b]u(x;y)[/b]= (x^4/2)+(x^2y^2)/2+ [b]φ (y)[/b]

Находим производную:

∂ u/ ∂ y=((x^4/2)+(x^2y^2/2)+ [b]φ (y)[/b])`_(y)=x^2y+ [b](φ (y)[/b])`_(y)


Так как

∂ u/ ∂ y=Q(x;y)

то сравниваем полученные выражения и получаем, что

[b]φ` (y)[/b]=2y^3

Тогда

[b] φ (y)[/b]=(2y^4/4) +C=(y^4/2)+C



О т в е т.

[b]u(x;y)=(x^4/2)+(x^2y^2/2)+(y^4/2)+C[/b]