Задача 61154 Нужно решеть задачи с двойным...

60af784ea1c50e1d30436cae

24.10.2021 14:31:19

Нужно решеть задачи с двойным интегралом, буду благодарен очень 2 задачи под номером 9
Если можно с обьяснением, а то понять не могу

5f3ea7e3faf909182968ddd9

24.10.2021 18:05:04

★

1)
Область интегрирования D - это прямоугольник c постоянными пределами по оси Ох:
0 ≤ x ≤ 1
кривыми на входе и выходе
y=sqrt((2x-x^2)) - снизу

y=sqrt((4x)) - сверху

Область рассматривается как область вертикального вида.

См. рис. 1


Но можно рассматривать область как область горизонтального вида ( см. рис. 2)

Тогда пределы по у должны быть постоянными,

а кривые на входе и выходе - функции, зависящие от y

Из уравнения

y=sqrt((2x-x^2))

находим х

Возводим в квадрат

y^2=2x-x^2

x^2-2x+y^2=0

Выделяем полный квадрат

(x^2-2x+1)+y^2=1 ⇒ (x-1)^2+y^2=1 ⇒ (x-1)^2=1-y^2

x-1= ± sqrt((1-y^2))

Левая часть полуокружности с минусом, правая с плюсом.

Нам нужна левая:

x-1=-sqrt((1-y^2))

x=1-sqrt((1-y^2))

Область горизонтального вида состоит из двух частей

Первая

0 ≤ y ≤ 1

0 ≤ x ≤ 1-sqrt((1-y^2))


Вторая
1 ≤ y ≤ 2

y^2/4 ≤ x ≤ 2


О т в е т.

∫_(0) ^(2)dx ∫_(sqrt((2x-x^2)) )^(sqrt((4x))) f(x;y) dy= ∫_(0) ^(1)dy ∫_(0) ^(1-sqrt((1-y^2)))f(x;y) dx+∫_(1) ^(2)dy ∫_(y^2/4) ^(2)f(x;y) dx


2)
m= ∫ ∫ _(D) μ (x;y)dxdy

D -часть эллипса x^2+4y^2=4, расположенного в первой четверти ( x ≥ 0; y ≥0)

(x^2/4)+y^2=1

a^2=4
b^2=1

Переходим к [b]обобщенным [/b] полярным координатам


[m]x=2 ρ cos θ [/m]

[m]y= ρ sin θ [/m]

[m] μ (x;y)=3(2 ρ cos θ)^3(ρ sin θ)^3 [/m]

[m](x^2/4)+y^2=(2 ρ cos θ)^2/4+(ρ sin θ)^2= ρ ^2(cos^2 θ +sin^2 θ )= ρ^2 [/m]



Тогда уравнение кривой принимает вид

[m]ρ=1 [/m]


Так как кривая в 1-ой четверти ⇒ 0 ≤ θ ≤ (π/2)


[m]m= ∫ ∫_{D} μ (x;y)dxdy ⇒ ∫_{0} ^{\frac{π}{2}}( ∫_{0} ^{1 }3(2 ρ cos θ)^3(ρ sin θ)^3 ρ d ρd θ [/m][red]=[/red]


Так как [m]sin2 θ=2sin θcos θ ⇒ [m]cos θ sin θ=\frac{1}{2}sin2 θ [/m] ⇒ [m](cos θ sin θ)^3=\frac{1}{8}sin^32 θ [/m]

Интегрирование тригонометрических функций в случае нечетной степени синуса или косинуса:

[m]sin^32 θ =sin2 θ \cdot sin^22 θ =sin2 θ (1-cos^22 θ )=sin2 θ -cos^22 θ sin2 θ [/m]



[red]=[/red][m]\frac{12}{8} ∫_{0} ^{\frac{π}{2}}( ∫_{0} ^{1 } sin^32 θ ρ^{7} d ρd θ =\frac{3}{2} ∫_{0} ^{\frac{π}{2}}(sin2 θ -cos^22 θ sin2 θ)d θ \frac{ ρ ^8}{8} |^{1}_{0}=[/m]


[m]=\frac{3}{2\cdot 8} ( ∫_{0} ^{\frac{π}{2}}sin2 θd θ -∫_{0} ^{\frac{π}{2}}cos^22 θ sin2 θd θ )=\frac{3}{16}(-\frac{1}{2}cos2 θ +\frac{1}{2}\frac{cos^32 θ}{3})|_{0} ^{\frac{π}{2}} =\frac{3}{16}(\frac{1}{2}-\frac{1}{6})=\frac{1}{16}[/m]


Когда хотят понять, то не задают две громоздкие задачи в одном вопросе