Задача 61132 Проинтегрировать уравнения в полных...
Условие
Решение
x(2x^2+y^2)dx+y(x^2+2y^2)dy=0
P(x;y)=x(2x^2+y^2)
Q(x;y)=y(x^2+2y^2)
P(x;y)=2x^3+xy^2
Q(x;y)=x^2y+2y^3
Так как
∂ P/ ∂ y=(2x^3+xy^2)`_(y)=2xy
∂ Q/ ∂ x=(x^2y+2y^3)`_(x)=2xy
и ∂ P/ ∂ y = ∂ Q/ ∂ x,
то это [b]уравнение в полных дифференциалах.[/b]
Значит, u(x;y)=C - решение дифференциального уравнения.
Функция u может быть найдена из условий:
∂ u/ ∂ x=P(x;y)
∂ u/ ∂ y=Q(x;y)
∂ u/ ∂ x=P(x;y) ⇒ [b]u(x;y)[/b]= ∫ P(x;y) dx= ∫ (x(2x^2+y^2))dx=∫ (2x^3+xy^2))dx=(2x^4/4)+ y^2*(x^2/2)+[b]φ (y)[/b]=
=(x^4/2)+(x^2y^2)/2+ [b]φ (y)[/b]
Находим производную:
∂ u/ ∂ y=((x^4/2)+(x^2y^2/2)+ [b]φ (y)[/b])`_(y)=x^2y+ [b](φ (y)[/b])`_(y)
Так как
∂ u/ ∂ y=Q(x;y)
то
[b]φ` (y)[/b]=2y^3
Тогда
[b] φ (y)[/b]=(2y^4/4) +C=(y^4/2)+C
О т в е т.
[b]u(x;y)=(x^4/2)+(x^2y^2/2)+(y^4/2)+C[/b]