Задача 61116 Найти f'(x) от...
Условие
Решение
Постоянный множитель (-3) можно вынести за знак производной.
По формуле:
[r](u*v)`=u`*v+u*v`[/r]
[m]f`(x)=–3\cdot(cos(2x–\frac{π}{2}))`·e^{–\frac{1}{5}x^2+1}+cos(2x–\frac{π}{2})·(e^{–\frac{1}{5}x^2+1})`)[/m]
Применяем правило вычисления производной сложной функции
[m]f(x)=–3\cdot(-sin (2x–\frac{π}{2}))\cdot (2x–\frac{π}{2})`·e^{–\frac{1}{5}x^2+1}+cos(2x–\frac{π}{2})·(e^{–\frac{1}{5}x^2+1})\cdot(–\frac{1}{5}x^2+1) `)[/m]
[m]f(x)=–3\cdot(-sin (2x–\frac{π}{2}))\cdot (2)·e^{–\frac{1}{5}x^2+1}+cos(2x–\frac{π}{2})·(e^{–\frac{1}{5}x^2+1})\cdot(–\frac{2}{5}x) )[/m]
[m]f(x)=6\cdot sin (2x–\frac{π}{2})·e^{–\frac{1}{5}x^2+1}+\frac{6}{5}x\cdot cos(2x–\frac{π}{2})·e^{–\frac{1}{5}x^2+1}[/m]
По формулам приведения:
[m]sin (2x–\frac{π}{2})=-sin(\frac{π}{2}-2x)=-cos2x[/m]
[m]cos (2x–\frac{π}{2})=cos(\frac{π}{2}-2x)=sin2x[/m]
[m]f(x)=6\cdot e^{–\frac{1}{5}x^2+1}(-cosx2x+\frac{1}{5}x\cdot sin2x)[/m]
Можно [b]сначала[/b] упростить выражение по формулам приведения
[m]f(x)=–3sin2x·e^{–\frac{1}{5}x^2+1}[/m]
[m]f`(x)=–3\cdot (sin2x)`·e^{–\frac{1}{5}x^2+1}-3 \cdot sin2x·(e^{–\frac{1}{5}x^2+1})`[/m]
[m]f`(x)=–3\cdot (cos2x)\cdot (2x)`·e^{–\frac{1}{5}x^2+1}-3 \cdot sin2x·(e^{–\frac{1}{5}x^2+1})\cdot (–\frac{1}{5}x^2+1)`[/m]
[m]f`(x)=–3\cdot (cos2x)\cdot (2)·e^{–\frac{1}{5}x^2+1}-3 \cdot sin2x·(e^{–\frac{1}{5}x^2+1})\cdot (–\frac{2}{5}x)[/m]
[m]f`(x)=6\cdot e^{–\frac{1}{5}x^2+1} \cdot (-cos2x +\frac{1}{5}x \cdot sin2x)[/m]