Задача 61111 Решить линейные дифференциальные...

61703bbe8c4c5a5ade8bf113

20.10.2021 20:51:21

Решить линейные дифференциальные уравнения первого порядка

x*y’ = y+x^2cos(x), y(Pi/2) = 0

5f3ea7e3faf909182968ddd9

20.10.2021 22:50:07

★

Разделим на х

y`=(y/x)+x*cosx

y`-(1/x)*y=x*cosx - это линейное уравнение первой степени

Решают

1) методом Бернулли и 2) методом вариации произвольной постоянной.


1)

Введение двух функций: y(x)=u(x)*v(x)

тогда y`=u`*v+u*v`

Подставляем в уравнение

[m]u`\cdot v+u\cdot v`-\frac{1}{x}\cdot u\cdot v=x\cdot cosx[/m]

Группировка: [m]u`\cdot v+u\cdot (v`-\frac{1}{x}\cdot v)=x\cdot cosx[/m]

Полагаем:
[m]( v`-\frac{1}{x}\cdot v)=0[/m]

тогда

[m]u`\cdot v+u\cdot 0=x\cdot cosx[/m]




Решаем два уравнения с разделяющимися переменными:


[m]( v`-\frac{1}{x}\cdot v)=0[/m] ⇒ [m]\frac{dv}{dx}=\frac{1}{x}\cdot v[/m]

[m]\frac{dv}{v}=\frac{dx}{x}[/m] ⇒[m]ln v=lnx[/m] ( считаем С=0)

[m]v=x[/m]



[m]u`\cdot v+u\cdot 0=x\cdot cosx[/m]

[m]u`\cdot x+u\cdot 0=x\cdot cosx[/m]

[m]u`\cdot x=x\cdot cosx[/m]


[m]u`= cosx[/m] ⇒

[m]u= ∫ cosx dx [/m]

[m]u=sinx+C[/m]



[m]y=uv[/m]

[m] y=(sinx+C)\cdot x[/m]

[m]y=x\cdot sinx+C\cdot x[/m] - общее решение



y(π/2)=0

x=π/2

y=0

Подставляем в решение и находим С:

[m]0=(π/2)\cdot sin(π/2)+C\cdot (π/2)[/m] ⇒ С=-1

[m]y=x\cdot sinx-x[/m] - частное решение, удовлетворяющее начальному условию