Задача 61105 решить задание 2.1 (xy+x^3y)·y’=1+y^2...

5f9bfa1d6feaba08a85e02cc

20.10.2021 17:17:17

решить задание 2.1
(xy+x^3y)·y’=1+y^2

5f3ea7e3faf909182968ddd9

20.10.2021 17:23:52

★

(xy+x^3y)*y`=1+y^2

xy(1+x^2)*y`=(1+y^2) - уравнение с разделяющимися переменными....


y`=dy/dx

ydy/(1+y^2)=dx/x*(1+x^2)

Интегрируем:

∫ ydy/(1+y^2)= ∫\frac{1}{x(1+x^2)}dx[/m]

Раскладываем дробь справа на простейшие:

[m]\frac{1}{x(1+x^2)}=\frac{A}{x}+\frac{Mx+N}{1+x^2}[/m]

Приводим справа к общему знаменателю и приравниваем числители

[m]1=A(1+x^2)+(Mx+N)x[/m]

[m]1=(A+M)x^2)+Nx+A[/m]

A+M=0
N=0
A=1

M=-1

[m]\frac{1}{x(1+x^2)}=\frac{1}{x}+\frac{(-x)}{1+x^2}[/m]

[m]∫ \frac{ydy}{(1+y^2)}= ∫\frac{1}{x}dx- ∫\frac{x}{x^2+1}dx [/m]

[m]\frac{1}{2}∫ \frac{2ydy}{(1+y^2)}= ∫\frac{1}{x}dx-\frac{1}{2} ∫\frac{2x}{x^2+1}dx [/m]

[m]\frac{1}{2}ln(1+y^2)=lnx-\frac{1}{2}ln(x^2+1)+lnC [/m]

[m]\frac{1}{2}ln(1+y^2)+frac{1}{2}ln(x^2+1)=lnx+lnC [/m]

[m]\frac{1}{2}ln(1+y^2)\cdot (x^2+1)=lnCx [/m]


[m]ln\sqrt{(1+x^2)\cdot(1+y^2)}=lnCx [/m]


[m]\sqrt{(1+x^2)\cdot(1+y^2)}=Cx [/m]- о т в е т