Задача 61100 Найти частное решение дифференциального...

617008328c4c5a5ade8bec37

20.10.2021 15:20:07

Найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
y''+2y'+5y=5x^2+9x+9
y(0)=1, y'(0)=1
Ответ желательно в письменной форме

5f3ea7e3faf909182968ddd9

20.10.2021 15:46:35

★

Это линейное [b]неоднородное[/b] дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решаем линейное [b]однородное[/b] дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

y''+2y'+5y=0

Составляем характеристическое уравнение:
k^2+2k+5=0
D=4-20=-16

sqrt(D)=sqrt(-16)=sqrt(16*(-1))=sqrt(16)*sqrt(-1)=4*i

i=sqrt(-1)

k_(1)=(-2-4i)/2=-1-2i и k_(2)=(-2+4i)/2=-1+2i - корни комплексно-сопряженные

α =-1
β =2

поэтому [b]общее решение однородного уравнения[/b] с постоянными коэффициентами имеет вид:

y_(общее одн)=e^(αx)8(C_(1)cos βx+C_(2)*sin βx) - общее решение однородного уравнения


y_(общее одн)=e^(-x)*(C_(1)cos 2x+C_(2)*sin 2x) - общее решение однородного уравнения y''+2y'+5y=0


Правая часть неоднородного уравнения имеет ''специальный'' вид, поэтому частное решение имеет вид:

y_(частное неодн)=Аx^2+Bx+D


y`_(частное неодн) =2Ax+B
y``_(частное неодн)=2A

Подставляем в данное неоднородное уравнение:

(2A)+2*(2Ax+B)+5*(Аx^2+Bx+D )=5x^2+9х+9

два многочлена равны, если равны их степени и
равны коэффициенты при одинаковых степенях переменной

Степени равны: и слева и справа многочлен второй степени

(2A)+[blue]2*2Ax[/blue]+2*B+[b]5*Аx^2[/b]+[blue]5*Bx[/blue]+5*D =[b]5x^2[/b]+[blue]9х[/blue]+9

5*Аx^2+(4А+5B)*x+(2А+2В+5D)=5x^2+9х+9

5А=5
4A+5B=9
2А+2В+5D=9

A=1

5B=9-4
B=1

5D=9-2A-2B

5D=5

D=1

y_(общее неодн)=у_(общее однород) +y_(частное неодн)

- общее решение неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

y_(общее неодн)=e^(-x)*(C_(1)cos 2x+C_(2)*sin 2x)+x^2+x+1

О т в е т.
y_(общее неодн)=e^(-x)*(C_(1)cos 2x+C_(2)*sin 2x)+x^2+x+1


Частное решение, соответствующее заданным начальным условиям.

Т.е решение задачи Коши.


[b]y(0)=1[/b] ⇒ y_(0)=e^(-0)*(C_(1)cos 2*0+C_(2)*sin2*0)+0^2+0+1 ⇒ 1=C_(1)+1 ⇒ C_(1)=0

cos0=1

sin0=0

[b]y`(0)=1
[/b]
Найдем y`

y`=(e^(-x))`*(C_(1)cos 2x+C_(2)*sin 2x)+e^(-x)*(C_(1)cos 2x+C_(2)*sin 2x)`+(x^2+x+1)`

y`=-e^(-x)*(C_(1)cos 2x+C_(2)*sin 2x)+e^(-x)*(C_(1)(-sin 2x)*2+C_(2)*(cos2x)*2)+(2x+1)


y`(0)=1

y`(0)=-e^(-0)*(C_(1)cos 2*0+C_(2)*sin 2*0)+e^(-0)*(C_(1)(-sin 2*0)*2+C_(2)*(cos2*0)*2)+(2*0+1)


1=C_(2)*2+1 ⇒

C_(2)=0

О т в е т Частное решение, соответствующее заданным начальным условиям.

y=x^2+x+1