Задача 61085 Изменить порядок интегрирования в...

616f9e868c4c5a5ade8be5b8

20.10.2021 07:49:02

Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле.
Сделать чертёж области интегрирования.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

20.10.2021 11:48:29

★

Область интегрирования D задана как область вертикального вида, пределы по х постоянные:

0 ≤ x ≤ 2

x ≤ y ≤ x^2+3

Требуется задать ее как область горизонтального вида, т.е пределы по у постоянные

Поскольку линии входа различные, лини выхода тоже, то область делим на три области

На зеленой линия входа x=0; линия выхода у=х, которую теперь надо записать как х=у

Постоянные пределы по оси Оу: y=0; y=2
0 ≤ y ≤ 2
0 ≤ x ≤ y

На розовой области:
2 ≤ y ≤ 3
0 ≤ x ≤ 2

На синей
3 ≤ y ≤ 7
sqrt(y-3) ≤ x ≤ 2

y=x^2+3 ⇒ x^2=y-3 ⇒ x=sqrt(y-3) - правая ветвь параболы, которая нам нужна

а левая

x=-sqrt(y-3)

Поэтому интеграл равен сумме трех интегралов:

= ∫ ^(2)_(0)dy ∫ ^(y)_(0)f(x;y)dx+ ∫ ^(3)_(2)dy ∫ ^(2)_(0)f(x;y)dx+∫ ^(7)_(3)dy ∫ ^(sqrt(y-3))_(2)f(x;y)dx