Задача 61043 Вычислить определенные интегралы с...
Условие
Решение
[m] ∫^{1}_{0} \frac{sin\frac{x}{4}}{x} = ∫^{1}_{0}\frac{\frac{x}{4}-\frac{(\frac{x}{4})^3}{3!}+\frac{(\frac{x}{4})^5}{5!}+...}{x}dx=[/m]
[m]=∫^{1}_{0}(\frac{1}{4}-\frac{(\frac{x}{4})^2}{3!}+\frac{(\frac{x}{4})^4}{5!}-...)dx=[/m]
[m]=(\frac{1}{4}x-\frac{1}{16\cdot 3!}\cdot \frac{x^3}{3}+\frac{1}{256\cdot 5!}\cdot \frac{x^5}{5}-...)|^{1}_{0}=[/m]
[m]=\frac{1}{4}-\frac{1}{288}+\frac{1}{256\cdot 600}-....=[/m]
так как получен знакопеременный ряд, то погрешность при замене ряда на сумму нескольких слагаемых не превышает модуля
первого отброшенного слагаемого
[m]\frac{1}{256\cdot 600}<\frac{1}{150000}<10^{-3}[/m]
Значит для вычисления интеграла с заданной точностью достаточно взять два слагаемых
[m] ∫^{1}_{0} \frac{sin\frac{x}{4}}{x} ≈ \frac{1}{4}-\frac{1}{288}=\frac{71}{288}[/m]