Задача 61041 ...
Условие
[m]y''+ λ ^2y=0, [/m] x ∈ [a;b], y(a)=y(b), y'(b)=0
Решение
[m]y``+ λ ^2y=0[/m]
Составляем характеристическое уравнение:
[m]k^2+ λ ^2=0[/m]
[m]k_{1,2}= ± λ \cdot i[/m]
Общее решение
[m]y=C_{1}cos λ x+C_{2}sin λ x[/m]
[m]y`=C_{1}(- λ sin λ x)+C_{2}( λ cos λ x)[/m]
Из краевого условия
y'(b)=0
[m] -λ C_{1} sin λ b+ λ C_{2} cos λ b=0[/m]
Из краевого условия
y(a)=y(b)
[m]C_{1}cos λ a+C_{2}sin λ a=C_{1}cos λ b+C_{2}sin λ b[/m]
Получили систему двух уравнений относительно[m] λ [/m]
[m]\left\{\begin {matrix}-λ C_{1} sin λ b+ λ C_{2} cos λ b=0\\C_{1}cos λ a+C_{2}sin λ a=C_{1}cos λ b+C_{2}sin λ b\end {matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin {matrix} C_{1}= C_{2} \frac{cos λ b}{ sin λ b}\\ C_{2} \frac{cos λ b}{ sin λ b}cos λ a+C_{2}sin λ a= C_{2} \frac{cos λ b}{ sin λ b}cos λ b+C_{2}sin λ b\end {matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin {matrix} C_{1}= C_{2} \frac{cos λ b}{ sin λ b}\\ \frac{cos λ b}{ sin λ b}cos λ a+sin λ a=\frac{cos λ b}{ sin λ b}cos λ b+sin λ b\end {matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin {matrix} cos λ b= \frac{C_{1}}{C_{2}}sin λ b\\ cos λ b\cdot cos λ a+sin λ a \cdot sin λb =cos^2 λb+sin^2 λ b \end {matrix}\right.[/m]
[m]cos λ b\cdot cos λ a+sin λ a \cdot sin λb =1[/m] ⇒
[m]cos( λ b- λ a)=1[/m] ⇒
[m] λ (b-a)=2πn, n ∈ [/m] [b]Z[/b] ⇒ [m] λ=\frac{2}{b-a}\cdot πn, n ∈ [/m] [b]Z[/b]
Собственные числа:
[m] λ_{n}=\frac{2}{b-a}\cdot πn, n ∈ [/m] [b]Z[/b]
Подставляем λ в общее решение [m]y=C_{1}cos λ x+C_{2}sin λ x[/m] и получим собственные функции:
[m]y_{n}=C_{1}cos \frac{2}{b-a}\cdot πn \cdot x+C_{2}sin \frac{2}{b-a}\cdot πn\cdot x[/m]