Задача 60945 1. Составить уравнение касательной и...
Условие
x^4-y^4=2xy A(-1;-1)
2. Найти производную.
y = (ln x)^(3^x)
3. Исследовать на экстремум функцию.
z = x^2+y^2+xy-2x-y
Спасибо большое!)
Решение
x^4-y^4=2xy
Кривая задана неявно ( у не выражается через х)
Перепишем в виде:
x^4-y^4-2xy=0
Тогда
F(x;y)=x^4-y^4-2xy
Находим частные производные:
F`_(x)=4x^3-2y
F`_(y)=-4y^3-2x
F`_(x)(A)=4*(-1)^3-2*(-1)=-4+2=[b]-2[/b]
F`_(y)(A)=-4*(-1)^3-2*(-1)=4+2=[b]6[/b]
Подставляем в уравнения ( см. скрин):
Уравнение касательной плоскости:
2* (x-(-1)+6*(y-(-1))=0
2*(x+1)+6*(y+1)=0
[b]2x+6y+8=0[/b]
Уравнение нормали:
(x-(-1))/2 =(y-(-1))/6
(x+1)/2=(y+1)/6
6*(x+1)=2*(y+1)
6x+6=2y+2
[b]6x-2y+4=0[/b]
2.
Логарифмируем:
lny=ln(lnx)^(3^(x))
По свойству логарифма степени
lny=3^(x)*ln(lnx)
Дифференцируем:
y`/y=(3^(x))`*lnlnx+(3^(x))*(lnlnx)`
[m]y`=y\cdot (3^{x}\cdot ln3\cdot lnlnx+3^{x}\cdot \frac{1}{lnx}\cdot \frac{1}{x})[/m]
[m]y`=(lnx)^{3^{x}}\cdot (3^{x}\cdot ln3\cdot lnlnx+3^{x}\cdot \frac{1}{lnx}\cdot \frac{1}{x})[/m]
3.
z=x^2+y^2+xy–2x–y
Находим частные производные:
z`_(x)=(x^2+y^2+xy–2x–y)`_(x)=2x+y-2
z`_(y)=(x^2+y^2+xy–2x–y)`_(y)=2y+x-1
Находим стационарные точки:
{z`_(x)=0
{z`_(y)=0
{2x+y-2=0
{2y+x-1=0 ⇒ x=-2y+1 подставляем в первое
2*(-2y+1)+y-2=0
-4y+2+y-2=0
y=0
x=-2*0+1=1
М(1;0) - точка возможного экстремума
Находим вторые частные производные
z``_(xx)=(z`_(x))`_(x)=(2x+y-2)`_(x)=2
z``_(xy)=(z`_(x))`_(y)=(2x+y-2)`_(y)=1
z``_(yy)=(z`_(y))`_(y)=(x+2y-1)`_(y)=2
Значения вторых частных производных в точке М в данном случае те же
z``_(xx)(M)=2
z``_(xy)(M)=1
z``_(yy)(M)=2
Обозначив их
A=z``_(xx)(M)=2
B=z``_(xy)(M)=1
C=z``_(yy)(M)=2
считаем
Δ=A*C-B^2=2*2-1^2=3 >0 ⇒ М(-1;1) - точка экстремума
A=z``_(xx)(M)=2>0
М(1;0) - [b]точка минимума[/b]
