Задача 60937 Ряд(Ознака коши), функцию в ряд тейлора,...
Условие
Решение
Это знакоположительный ряд:[m] sin\frac{π}{3}+sin^2\frac{π}{6}+sin^3\frac{π}{9}+...[/m]
Углы [m]\frac{π}{3}: \frac{π}{6};\frac{π}{9};... [/m] находятся в первой четверти, синус в первой четверти положителен
[m]lim_{n → ∞} \sqrt[n]{a_{n}}=lim_{n → ∞} \sqrt[n]{sin^{n}\frac{π}{3n}}=lim_{n → ∞} sin\frac{π}{3n}=sinlim_{n → ∞}\frac{π}{3n}=sin0=0<1 [/m]
сходится.
4.
Применяем известное разложение:
[m]e^{x}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^{n}}{n!}+...[/m]
Заменяем [m]x[/m] на [m]2x[/m]
[m]e^{2x}=1+2x+\frac{(2x)^2}{2!}+\frac{(2x)^3}{3!}+...+\frac{(2x)^{n}}{n!}+...[/m]
Умножаем на [m]x^3[/m]
[m]x^3\cdot e^{2x}=x^3\cdot (1+2x+\frac{(2x)^2}{2!}+\frac{(2x)^3}{3!}+...+\frac{2x)^{n}}{n!}+...)[/m]
[m]x^3\cdot e^{2x}=x^3\cdot 1+x^3\cdot 2x+x^3\cdot \frac{(2x)^2}{2!}+x^3\cdot \frac{(2x)^3}{3!}+...+x^3\cdot \frac{(2x)^{n}}{n!}+...[/m]
[m]x^3\cdot e^{2x}=x^3+ 2x^4+\frac{4x^5}{2!}+\frac{8x^6}{3!}+...+ \frac{2^{n}x^{n+3}}{n!}+...[/m] - о т в е т
3.
Задачу решаем [b]непосредственно[/b] по формуле.
Вычисляем производные и их значения в точке: