Задача 60931 Найти экстремумы функции. z =...
Условие
z = x^2+xy+y^2+x-y+1
По возможности решить :
Решить наближено:
sqrt(1,02^3+1,97^3)
Решение
В приближенных вычислениях полагают: [b]Δz ≈ dz[/b]
Так как
Δz=z(x_(o)+ Δx; y_(o)+ Δy)-z(x_(o);y_(o)) ⇒
z(x_(o)+ Δx; y_(o)+ Δy) ≈-z(x_(o);y_(o)) +Δz
Слева значение функции в "нехорошей точке" (x_(o)+ Δx; y_(o)+ Δy)
Справа - в "хорошей точке" ( x_(o);y_(o))
Так как
dz=z`_(x)(x_(o);y_(o))* Δx+z`_(y)(x_(o);y_(o))* Δy
справа - частные производные в в "хорошей точке" ( x_(o);y_(o)) умножаются на приращения.
Поэтому:
z(x_(o)+ Δx; y_(o)+ Δy)-z(x_(o);y_(o)) ≈ z_(x)(x_(o);y_(o))* Δx+z_(y)(x_(o);y_(o))* Δy
z(x_(o)+ Δx; y_(o)+ Δy) ≈ z(x_(o);y_(o))+z`_(x)(x_(o);y_(o))* Δx+z`_(y)(x_(o);y_(o))* Δy
z=sqrt(x^3+y^3)
x_(o)=1
y_(o)=2
Δx=0,02
Δy=-0,03
z(x_(o);y_(o))=sqrt(1^2+2^2)=sqrt(5)
z`_(x)=3x^2/2sqrt(x^3+y^3)
z`_(y)=3y^/2sqrt(x^3+y^3)
z`_(x)(x_(o);y_(o))=z`_(x)(1;2)=3*1^2/2sqrt(5)=1/sqrt(5)
z`_(y)(x_(o);y_(o))=z`_(y)(1;2)=3*2^2/2sqrt(10)=6/sqrt(5)
sqrt((1,02^3+(1,97)^3) ≈ sqrt(5)+(1/sqrt(5))*(0,02) +(6/sqrt(5))*(-0,03)=.sqrt(5)+(1/sqrt(5))*(0,002)=5,002/sqrt(5)
sqrt((1,02^3+(1,97)^3) ≈5,002/sqrt(5) считайте... самостоятельно
1.Найти экстремумы функции.
z = x^2+xy+y^2+x–y+1
Находим частные производные:
z`_(x)=2x+y+1
z`_(y)=x+2y-1
Находим стационарные точки:
{z`_(x)=0
{z`_(y)=0
{2x+y+1=0
{x+2y-1=0 ⇒ x=-2y+1 подставляем в первое
2*(-2y+1)+y+1=0
-4y+2+y+1=0
-3y=-3
y=1
x=-2*1+1=-1
М(-1;1) - точка возможного экстремума
Находим вторые частные производные
z``_(xx)=(z`_(x))`_(x)=(2x+y+1)`_(x)=2
z``_(xy)=(z`_(x))`_(y)=(2x+y+1)`_(y)=1
z``_(yy)=(z`_(y))`_(y)=(x+2y-1)`_(y)=2
Значения вторых частных производных в точке М в данном случае те же
z``_(xx)(M)=2
z``_(xy)(M)=1
z``_(yy)(M)=2
Обозначив их
A=z``_(xx)(M)=2
B=z``_(xy)(M)=1
C=z``_(yy)(M)=2
считаем
Δ=A*C-B^2=2*2-1^2=3 >0 ⇒ М(-1;1) - точка экстремума
A=z``_(xx)(M)=2>0
М(-1;1) - [b]точка минимума[/b]
