Задача 60930 Вычислить двойной интеграл по области...
Условие
Решение
1) способ
Рассматриваем область D как область вертикального вида:
0 ≤ x ≤ sqrt(2)
x ≤ y ≤ sqrt(2)
Тогда
[m] ∫∫_{D} y^2\cdot e^{-\frac{xy}{2}}dxdy= ∫ ^{\sqrt{2}}_{0} ( ∫^{\sqrt{2}}_{x}y^2\cdot e^{-\frac{xy}{2}}dy)dx=[/m]
Внутренний интеграл по внутренней переменной у ( х =const) считаем по частям два раза
...
что мне не очень нравится и потому будем считать по-другому:
2) способ
Рассматриваем область D как область вертикального вида:
0 ≤ y ≤ sqrt(2)
0 ≤ x ≤ y
Тогда
[m] ∫∫_{D} y^2\cdot e^{-\frac{xy}{2}}dxdy= ∫ ^{\sqrt{2}}_{0} ( ∫^{y}_{0}y^2\cdot e^{-\frac{xy}{2}}dx)dy=[/m]
Внутренний интеграл по внутренней переменной x ( y =const) легко считается:
[m]=∫ ^{\sqrt{2}}_{0}y^2\cdot ((-\frac{2}{y}) ∫^{y}_{0} e^{-\frac{xy}{2}}\cdot (-\frac{y}{2}dx)dy=[/m]
[m]=∫ ^{\sqrt{2}}_{0}y^2\cdot ((-\frac{2}{y}) ∫^{y}_{0} e^{-\frac{xy}{2}}d(-\frac{xy}{2}))dy=[/m]
[m]=∫ ^{\sqrt{2}}_{0}(-2y) \cdot e^{-\frac{xy}{2}}|^{y}_{0}dy=∫ ^{\sqrt{2}}_{0}(-2y) \cdot (e^{-\frac{y^2}{2}}-e^{0})dy=[/m]
[m]=∫ ^{\sqrt{2}}_{0}(-2y) \cdot (e^{-\frac{y^2}{2}}- 1)dy=2∫ ^{\sqrt{2}}_{0}(-y) \cdot (e^{-\frac{y^2}{2}} \cdot (-y) dy +2∫ ^{\sqrt{2}}_{0}ydy=2∫ ^{\sqrt{2}}_{0} e^{-\frac{y^2}{2}} d(-\frac{y^2}{2}) +2∫ ^{\sqrt{2}}_{0}ydy= [/m]
[m]=2\cdot (e^{-\frac{y^2}{2}})|^{\sqrt{2}}_{0} +2\cdot (\frac{y^2}{2})| ^{\sqrt{2}}_{0}=(2e^{-1}-2e^{0})+(2-2\cdot 0)=\frac{2}{e} [/m]
