Задача 60917 Найти область сходимости рядов...
Условие
Решение
[m]R=lim_{n → ∞ }\frac{a_{n}}{a_{n+1}}=lim_{n → ∞ }\frac{\frac{1}{\sqrt{n\cdot 5^{n-1}}}}{\frac{1}{\sqrt{(n+1)\cdot 5^{n}}}}=\sqrt{5}[/m]
[m](-\sqrt{5};\sqrt{5})[/m] - интервал сходимости
Чтобы найти область сходимости, надо исследовать сходимость ряда при[m] x=-\sqrt{5}[/m]и при[m] x=\sqrt{5}[/m]
Ряд при[m] x=-\sqrt{5}[/m]
[m]∑^{ ∞ }_{1}\frac{(-1)^{k}(\sqrt{5})^{k}}{\sqrt{k\cdot 5^{k-1}}}[/m] - сходится по признаку Лейбница
[m]∑^{ ∞ }_{1}\frac{(\sqrt{5})^{k}}{\sqrt{k\cdot 5^{k-1}}}[/m] - расходится как обобщенный гармонический при p=1/2 <1
О т в е т. [m][-\sqrt{5};\sqrt{5})[/m] - область сходимости
б)
a)
[m]R=lim_{n → ∞ }\frac{a_{n}}{a_{n+1}}=lim_{n → ∞ }\frac{\frac{1}{n!}}{\frac{1}{(n+1)!}}= ∞ [/m]
О т в е т.[m](- ∞ ; ∞ )[/m] - область сходимости