Задача 60916 Найти область сходимости рядов. Нужно...
Условие
Решение
Рассматриваем ряд из модулей:
[m] ∑ ^{ ∞ }_{1}\frac{k}{(2k-1)!}\cdot x^{k}[/m]
[m]a_{k}=\frac{k}{(2k-1)!}[/m]
[m]R=lim_{n → ∞ }\frac{a_{n}}{a_{n+1}}=lim_{n → ∞ }\frac{\frac{n}{(2n-1)!}}{\frac{(n+1)}{2(n+1)-1)!}}=lim_{n → ∞ }\frac{n\cdot (2n+1)!}{(n+1)\cdot (2n-1)!}=lim_{n → ∞ }\frac{n}{n+1}\cdot lim_{n → ∞ }\frac{(2k+1)!}{(2k-1)!} =1\cdot ∞= ∞[/m]
(2k+1)!=(2k-1)!*(2k)*(2k+1)
.[m](- ∞ ; ∞ )[/m] - область сходимости
б)
[m]a_{k}=\frac{1}{k}[/m]
[m]R=lim_{n → ∞ }\frac{a_{n}}{a_{n+1}}=lim_{n → ∞ }\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{(n+1)}}=lim_{n → ∞ }\frac{n+1}{n}= 1[/m]
Так как ряд по степеням (х+2), то интервал сходимости симметричен относительно точки х=-2
(-2-1;-2+1)=(-3;-1) - интервал сходимости
Чтобы найти область сходимости, надо исследовать сходимость ряда на концах интервала, т.е при[m] x=-3[/m]и при[m] x=-1[/m]
при[m] x=-3[/m]
получаем ряд:
[m]∑^{ ∞ }_{1}\frac{(-1)^{k}}{k}[/m] - сходится по признаку Лейбница
при[m] x=-1[/m]
получаем ряд:
[m]∑^{ ∞ }_{1}\frac{1}{k}[/m] - расходится . Это гармонический ряд
О т в е т.[m][- 3 ;-1 )[/m] - область сходимости