Задача 60861 Решить вопрос о сходимости рядов; в е)...
Условие
абсолютно.
Решение
в) Сходится по интегральному признаку.
[m] ∫ ^{ ∞ }_{2} \frac{dx}{xln^5x}=∫ ^{ ∞ }_{2}ln^{-5}xd(lnx)=\frac{ln^{-4}}{-4}|^{ ∞ }_{2}=-\frac{1}{ln^4x}|^{ ∞ }_{2}=0\frac{1}{ln^42}[/m]
д) сходится
Это беск. уб геом прогрессия
Можно по определению S=lim_(n → ∞ ) S_(n)=lim_(n → ∞ ) [m]\frac{\frac{2}{5}\cdot (1-(\frac{2}{5})^{n})}{1-\frac{2}{5}}=\frac{2}{3}[/m]
сходится
Можно по признаку Даламбера
[m]lim_{n → ∞ }\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=lim_{n → ∞ }\frac{(\frac{2}{5})^{n+1}}{(\frac{2}{5})^{n}}=lim_{n → ∞ }\frac{2}{5} < 1[/m] сходится
е)
Ряд из модулей сходится по признаку Даламбера.
[m]lim_{n → ∞ }\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=lim_{n → ∞ }\frac{\frac{1}{5^{n+1}\cdot\sqrt{n+1}}}{\frac{1}{5^{n}\cdot \sqrt{n}}}=lim_{n → ∞ }\frac{1}{5}\cdot \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}} =\frac{1}{5}\cdot 1=\frac{1}{5} < 1[/m]
Значит ряд сходится абсолютно