Задача 60815 Найти частичную сумму Sn и сумму S...
Условие
Решение
[m]\frac{1}{n(n+1)(n+3)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+1}+\frac{C}{n+3}[/m]
[m]\frac{1}{n(n+1)(n+3)}=\frac{A(n+1)(n+3)+Bn(n+3)+Cn(n+1)}{n(n+1)(n+3)}[/m]
[m]1=A(n+1)(n+3)+Bn(n+3)+Cn(n+1)[/m]
[m]A=\frac{1}{3}[/m]
[m]B=-\frac{1}{2}[/m]
[m]C=\frac{1}{6}[/m]
[m]\frac{1}{n(n+1)(n+3)}=\frac{1}{3n}-\frac{1}{2(n+1)}+\frac{1}{6(n+3)}[/m]
[m]S_{n}=(\frac{1}{3\cdot 1}-\frac{1}{2(1+1)}+\frac{1}{6(1+3)})+(\frac{1}{3\cdot 2}-\frac{1}{2(2+1)}+\frac{1}{6(2+3)})+
(\frac{1}{3\cdot3}-\frac{1}{2(3+1)}+\frac{1}{6(3+3)})+...+\frac{1}{3n}-\frac{1}{2(n+1)}+\frac{1}{6(n+3)}=[/m]
[m]=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{24}+\frac{1}{6}-\frac{1}{6}+\frac{1}{30}+\frac{1}{9}-\frac{1}{8}+\frac{1}{36}+\frac{1}{12}-\frac{1}{10}+\frac{1}{42}+\frac{1}{15}-\frac{1}{12}+\frac{1}{48}+\frac{1}{18}-\frac{1}{14}+\frac{1}{54}+...+\frac{1}{3n}-\frac{1}{2(n+1)}+\frac{1}{6(n+3)}=[/m]
Найти закономерность, начиная с которой дроби с одинаковыми знаменателями будут с противоположными знаками.
И тогда
[m] S_{n}=\frac{7}{36}+ дроби, зависящие от n..[/m]
[m]S=lim_{n → ∞ }S_{n}=\frac{7}{36}[/m] Такой ответ выдала программа. Считать не буду...