Задача 60775 ...
Условие
1) [m]∫_LIm(z)dz[/m] L-окружность |z|=1, [m]0 ≤ arg(z) ≤ π[/m], проходимая против часовой стрелки;
2) [m]∫_LRe(z)dz[/m] L-окружность |z|=4, [m]0 ≤ arg(z) ≤ π[/m], проходимая против часовой стрелки;
3) [m]∫_Le^zdz[/m] L-окружность |z|=1, [m]0 ≤ arg(z) ≤ π[/m], проходимая против часовой стрелки
Решение
1)[m] ∫ Imzdz[/m] L–окружность [m] |z|=1, 0 ≤ arg(z)≤π[/m], проходимая против часовой стрелки
Введем на дуге [m] |z|=1, 0 ≤ arg(z)≤π[/m] параметрическое представление:
[m] x=cos φ [/m]
[m] y=sin φ [/m] ⇒
[m]0 ≤ φ ≤π[/m]
[m] z=x+iy[/m]
[m]Imz=y=sin φ[/m]
[m]dz=d(x+iy)=dx+idy=d(cos φ )+id(sin φ )=(cos φ )`d φ +i(sin φ)`d φ =(-sin φ +icos φ )d φ [/m]
[m] ∫ Imzdz= ∫ _{0}^{π}sin φ \cdot (-sin φ +icos φ )d φ=-∫ _{0}^{π}sin^ φ d φ+i\cdot∫ _{0}^{π} sinφ cos φ d φ =-∫ _{0}^{π}\frac{1-cos2 φ}{2} d φ +i\cdot∫ _{0}^{π}sin φ d(sin φ )=[/m]
[m]=-\frac{1}{2} φ +\frac {1}{4}sin2φ+i\cdot \frac{sin^2φ}{2})| _{0}^{π}=[/m]
2)[m] ∫ Rezdz[/m] L–окружность[m] |z|=4, 0 ≤ arg(z)≤π[/m] , проходимая против часовой стрелки
Введем на дуге [m] |z|=4, 0 ≤ arg(z)≤π[/m] параметрическое представление:
[m] x=4cos φ [/m]
[m] y=4sin φ [/m] ⇒
[m]0 ≤ φ ≤π[/m]
[m] z=x+iy[/m]
[m]Rez=y=4cos φ[/m]
[m]dz=d(x+iy)=dx+idy=d(cos φ )+id(sin φ )=(cos φ )`d φ +i(sin φ)`d φ =(-sin φ +icos φ )d φ [/m]
[m] ∫ Rezdz= ∫ _{0}^{π} 4cosφ \cdot (-sin φ +icos φ )d φ=-4∫ _{0}^{π}cos φ sin φ d φ +i\cdot∫ _{0}^{π}4cos^ φ d φ =[/m]
[m]=-4∫ sin φ d(sin φ)+i\cdot∫ _{0}^{π}2(1+cos2 φ)d φ =-2(sin^2 φ )| _{0}^{π}+i\cdot ( 2φ -sin2 φ)| _{0}^{π}=[/m]
3) [m]∫_{L}e^{z}dz[/m] L–окружность |z|=1, 0≤arg(z)≤π, проходимая против часовой стрелки
Введем на дуге [m] |z|=1, 0 ≤ arg(z)≤π[/m] параметрическое представление:
[m] x=cos φ [/m]
[m] y=sin φ [/m] ⇒
[m]0 ≤ φ ≤π[/m]
[m] z=x+iy[/m]
[m]e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}\cdot e^{iy}=e^{x}\cdot (cosφ+isin φ)=e^{cos φ }\cdot (cosφ+isin φ) [/m]
[m]dz=d(x+iy)=dx+idy=d(cos φ )+id(sin φ )=(cos φ )`d φ +i(sin φ)`d φ =(-sin φ +icos φ )d φ [/m]
[m] ∫_{L}e^{z}dz= ∫ _{0}^{π}e^{cos φ }\cdot (cosφ+isin φ)(-sin φ +icos φ )d φ=∫ _{0}^{π}e^{cos φ }\cdot (-sin φ cos φ -i\cdot sin^2 φ +i\cdot cos^2 φ+i^2sin φ \cdot cos φ)= [/m]
[m]=∫ _{0}^{π}e^{cos φ }\cdot (-2sin φ cos φ) d φ +i\cdot ∫ _{0}^{π}e^{cos φ }(cos^2 φ-sin^2 φ)d φ = ∫ _{0}^{π}e^{cos φ }\cdot (sin2 φ) d φ +i\cdot ∫ _{0}^{π}e^{cos φ }(cos2 φ)d φ=[/m]
Далее интегрирование по частям
...