Задача 60753 Найдите 5S, если S = 1/6 + 2/6^2 + 3/6^3...

61018b3ba1c50e1d30443518

16.09.2021 17:05:43

Найдите 5S, если S = 1/6 + 2/6^2 + 3/6^3 + .. + n/6^(n) + ..

5f3ea7e3faf909182968ddd9

16.09.2021 20:55:00

★

[m]S=\frac{1}{6}+\frac{2}{6^2}+\frac{3}{6^3}+...+\frac{n}{6^{n}}+...[/m]

Перепишем в виде:

[m]S=\frac{1}{6}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{6^3}+\frac{1}{6^3}+\frac{1}{6^3}+...+\frac{n}{6^{n}}+...[/m]

Получаем геометрические прогрессии

[m]\frac{1}{6}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{6^3}+...[/m] сумма равна [m]\frac{\frac{1}{6}}{1-\frac{1}{6}}[/m]

[m]\frac{1}{6^2}+\frac{1}{6^3}+...[/m] сумма равна [m]\frac{\frac{1}{6^2}}{1-\frac{1}{6}}[/m]

[m]\frac{1}{6^3}+...[/m] сумма равна [m]\frac{\frac{1}{6^3}}{1-\frac{1}{6}}[/m]



[m]5S=5\cdot \frac{\frac{1}{6}}{1-\frac{1}{6}}+5\cdot \frac{\frac{1}{6^2}}{1-\frac{1}{6}}+5\cdot \frac{\frac{1}{6^3}}{1-\frac{1}{6}}+...[/m]

[m]=1+\frac{1}{6}+\frac{1}{6^2}+...=\frac{1}{1-\frac{1}{6}}=\frac{6}{5}[/m]