Задача 60729 ...

614084d0bdb7e738ec382dc6

14.09.2021 19:07:41

Используя теоремы о вычетах, вычислить интеграл по контуру С, обходимому против часовой стрелки.
[m]∫ (dz)/((z-1)^2*(z^2+1))[/m]; c:|z-1|=1

5f3ea7e3faf909182968ddd9

15.09.2021 13:09:08

★

[m]f(z)=\frac{1}{(z-1)^2(z^2+1)}[/m]

Находим нули функции:
[m](z-1)^2(z^2+1)=0[/m]

[m]z=1 [/m] - нуль второго порядка.

[m]z=-i [/m] - нуль первого порядка.

m]z=i [/m] - нуль первого порядка.


С - замкнутый контур, ограниченный окружностью [m] |z-1|=1[/m] с центром в точке (1;0) радиусом 1..

[m]z=1 [/m] - изолированная особая точка, лежащая внутри замкнутого контура



По теореме о вычетах

[m]∫ _{C}f(z)dz= 2πi ∑_{k=1}^{k=m} res_{z_{k}} f(z)[/m]

( интеграл по замкнутому контуру, содержащему m точек равен произведению 2πi на сумму вычетов в этих точках)


В данной ситуации

[m]k=1[/m] - одна точка внутри контура:

[m]z=1 [/m]


Вычет в такой точке

[m]res f(z)|_{z=a}=\frac{1}{(n-1)!}lim_{z → a}\frac{d^{n}}{dz^{n}}(z-a)^{n}[/m]


В данном задании

n=2
z=1

[m]res f(z)|_{z=1}=\frac{1}{(2-1)!}lim_{z → 1}\frac{d^{2}}{dz^{2}}(z-1)^{2}=2[/m]

[m]\frac{d^{2}}{dz^{2}}(z-1)^{2}[/m]- производная второго порядка от функции (z-1)^2

Она равна 2.

Поэтому

[m]∫ _{C}f(z)dz= 2πi * 2=4πi[/m]