Задача 60728 ...

614084d0bdb7e738ec382dc6

14.09.2021 18:53:56

Представить заданную функцию w=f(z), где z=x+iy, в виде w=u(x,y)+iv(x,y); проверить, является ли она аналитической. Если да, то найти значение её производной в заданной точке z_(0).
w=e^(1-2iz), z_(0)=π/6

5f3ea7e3faf909182968ddd9

14.09.2021 20:10:44

★

[m]z=x+iy[/m], тогда

[m]w=e^{1-2i(x+iy)}[/m]

[m]w=e^{1-2ix-2i^2y)}[/m]

i^2=-1

[m]
e^{ix}=cosx+isinx[/m]

[m]w=e^{1+2y}\cdot (cos(-2x)+isin(-2x))[/m]

косинус - четная функция поэтому

[m]cos(-2x)=cos2x[/m]

синус - нечётная функция поэтому

[m]sin(-2x)=-sin2x[/m]

[m]w=e^{1+2y}\cdot (cos2x-isin2x)[/m]


[m]u(x;y)=e^{1+2y}\cdot cos2x[/m]

[m]v(x;y)=-e^{1+2y}\cdot sin2x[/m]

∂u/∂x=[m]e^{1+2y}\cdot (-2sin2x)[/m]
∂u/∂y=[m]e^{1+2y}\cdot 2 \cdot cos2x[/m]
∂v/∂y=[m]-e^{1+2y}\cdot 2\cdot sin2x[/m]
∂v/∂x=[m]-e^{1+2y}\cdot 2cos2x[/m]

∂u/∂x = ∂v/∂y
∂u/∂y =- ∂v/∂x

Условия Коши-Римана выполняются

Значит функция дифференцируема, т.е существует

[m]w`=∂u/∂x + i∂v/∂x [/m]
∂u/∂x=[m]e^{1+2y}\cdot (-2sin2x)[/m]
∂v/∂x=[m]-e^{1+2y}\cdot 2cos2x[/m]


[m]w`=e^{1+2y}\cdot (-2sin2x) + i(-e^{1+2y}\cdot 2cos2x) [/m]

[m]z_{o}=\frac{π}{6}[/m] ⇒ [m]x_{o}=\frac{π}{6}[/m]; [m]y_{o}=0[/m].



[m]w`(π/6)=e^{1+2\cdot 0}\cdot (-2sin2\cdot \frac{π}{6}) + i(-e^{1+2\cdot 0} \cdot 2cos2 \cdot \frac{π}{6}) [/m]


[m]w`(π/6)=e\cdot (-2sin\frac{π}{3}) + i(-e\cdot 2cos\frac{π}{3}) [/m]

[m]w`(π/6)=e\cdot (-2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) + i(-e\cdot 2\cdot \frac{1}{2}) [/m]


[m]w`(π/6)=-e\cdot \sqrt{3} - i\cdot e [/m] - о т в е т