Задача 60727 Дано комплексное число a . Требуется: 1)...

614084d0bdb7e738ec382dc6

14.09.2021 14:24:01

Дано комплексное число a . Требуется: 1) записать
число a в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни
уравнения z^(3) + a= 0 и изобразить их на комплексной плоскости
a=(2sqrt(2))/(1-i)

5f3ea7e3faf909182968ddd9

14.09.2021 14:43:57

★

[b]a[/b]=[m]\frac{2\sqrt{2}}{1–i}[/m]

Умножаем и числитель и знаменатель на[m] (1+i)[/m]

Получим:

[b]a[/b]=[m]\frac{2\sqrt{2}(1+i)}{(1–i)(1+i)}=\frac{(2\sqrt{2})(1+i)}{1^2–i^2}=[/m]

так как i^2=-1

[m]\frac{(2\sqrt{2})(1+i)}{(1–(-1)}=\frac{(2\sqrt{2})(1+i)}{2}=\sqrt{2}(1+i)=\sqrt{2}+i\cdot \sqrt{2}[/m]

[b]r=|a|[/b]=[m]\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=2[/m]


cosφ =[m]\frac{x}{r}=\frac{\sqrt{2}}{2}[/m]

sinφ =[m]\frac{y}{r}=\frac{\sqrt{2}}{2}[/m]

⇒

[m] φ =\frac{π}{4}[/m]


[m]a=2\cdot (cos\frac{π}{4}+i\cdot sin \frac{π}{4})[/m] - тригонометрическая форма


2)

[m]z^3+a=0[/m]

[m]z=\sqrt[3]{-a}[/m]

[b]a[/b]=[m]\frac{2\sqrt{2}}{1–i}[/m]

или


[b]a[/b]=[m]\sqrt{2}+i\cdot \sqrt{2}[/m]

значит
[b]-a[/b]=[m]-\sqrt{2}-i\cdot \sqrt{2}[/m]

Извлекаем кубический корень из числа (-а).

Для этого применяем формулу Муавра.

Представляем число ( -a) в тригонометрической форме:


[m]-a=2\cdot (cos(-\frac{3π}{4})+i\cdot sin (-\frac{3π}{4}))[/m]

[m]\sqrt[3]{-a}=\sqrt[3]{2}\cdot (cos\frac{(-\frac{3π}{4})+2πk}{3}+i\cdot sin\frac{(-\frac{3π}{4})+2πk}{3})[/m]

при k=0

z_(0) =[m]\sqrt[3]{2}\cdot (cos\frac{(-\frac{3π}{4})}{3}+i\cdot sin\frac{(-\frac{3π}{4})}{3})=\sqrt[3]{2}cos(-\frac{π}{4})+isin(-\frac{π}{4}))[/m]

Эта точка находится на окружности радиуса [m] r=\sqrt[3]{2} [/m] на луче (-π/4)

на рис. 1

при k=1
z_(1)=[m]\sqrt[3]{2}\cdot (cos\frac{(-\frac{3π}{4})+2π}{3}+i\cdot sin\frac{(-\frac{3π}{4})+2π}{3})=\sqrt[3]{2}\cdot (cos\frac{(\frac{5π}{4})}{3}+i\cdot sin\frac{(\frac{5π}{4})}{3})=\sqrt[3]{2}(cos(\frac{5π}{12})+isin(\frac{5π}{12}))[/m]

Эта точка находится на окружности радиуса [m] r=\sqrt[3]{2} [/m] на луче (-π/4)+(2π/3)=5π/12

при k=2

z_(2)= [m]\sqrt[3]{2}\cdot (cos\frac{(-\frac{3π}{4})+4π}{3}+i\cdot sin\frac{(-\frac{3π}{4})+4π}{3})=\sqrt[3]{2}\cdot (cos\frac{(\frac{13π}{4})}{3}+i\cdot sin\frac{(\frac{13π}{4})}{3})=\sqrt[3]{2}(cos(\frac{13π}{12})+isin(\frac{13π}{12}))[/m]

Эта точка находится на окружности радиуса [m] r=\sqrt[3]{2} [/m] на луче (5π/12)+(2π/3)=13π/12


Три точки делят окружность 360 ° на [b]три[/b] равные части ( потому что корень третьей степени)

по 120 ° между ними .