Задача 60692 Исследовать на непрерывность функции...
Условие
Решение
На (0;1] функция непрерывна, так как y=x^2-1 непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ ) ( рис. 2)
На (1;+ ∞ ) функция непрерывна, так как y=0 непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ ) Это уравнение оси Ох.
Значит, надо выяснить непрерывность функции в точках
х=0 и х=1
[b]х=0[/b]
Находим предел слева:
lim_(x → -0)f(x)=lim_(x → -0)(4x-1)=-1
Находим предел справа:
lim_(x → +0)f(x)=lim_(x → +0)(x^2-1)=-1
Левосторонний и правосторонний пределы равны.
Значит функция имеет предел в точке и он равен (-1)
Но функция [b]не определена[/b] в точке х=0
В первой строке ( - ∞< x[b]<[/b]0) и второй строке (0[b]<[/b]x ≤1) строгие неравенства в точке х=-0
Значит х=-1 -[i] точка устранимого разрыва[/i]
[b]х=1[/b]
Находим предел слева:
lim_(x →1 -0)f(x)=lim_(x → 1-0)(x^2-1)=1^2-1=0
Находим предел справа:
lim_(x →1 +0)f(x)=lim_(x → 1+0)(0)=0
предел слева = пределу справа и равен значению функции в точке 1
х=1 - [i]точка непрерывности [/i]
предел слева = пределу справа и равен значению функции в точке 1
График на рис. 3