Задача 60605 Сторона ромба является средним...
Условие
Решение
d_(1):a=a:d_(2) ⇒
[b]a^2=d_(1)*d_(2)[/b]
Так как диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят ромб на 4 прямоугольных треугольника, то по теореме Пифагора
[m]a^2=(\frac{d_{1}}{2})^2+(\frac{d_{2}}{2})^2[/m] ⇒ [m]a^2=\frac{d^2_{1}}{4}+\frac{d^2_{2}}{4}[/m] ⇒
[m]d_(1)\cdot d_(2)=\frac{d^2_{1}}{4}+\frac{d^2_{2}}{4}[/m]
[m]4d_(1)\cdot d_(2)=d^2_{1}+d^2_{2}[/m]
Делим на [m]d^2_{2}[/m]
[m]4\frac{d_{1}}{d_{2}}=(\frac{d_{1}}{d_{2}})^2+1[/m]
[m](\frac{d_{1}}{d_{2}})^2-4\frac{d_{1}}{d_{2}}+1[/m]
Решаем квадратное уравнение.
D=16-4=12
[m]\frac{d_{1}}{d_{2}}=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}=2-\sqrt{3}[/m]
[m]tg\frac{ α }{2}=\frac{\frac{d_{1}}{2}}{\frac{d_{1}}{2}}=\frac{d_{1}}{d_{2}}=2-\sqrt{3}[/m] ⇒
[m]\frac{ α }{2}=15 ° [/m] ⇒ [m] α =30 ° [/m]
